常量和变量的转换与变换技巧分享

在处理多元的函数或方程的数学问题时，常常有一个变元处于主导地位，我们称之为主元，此时可把其他的变元看作常量，按照主元的某种形式对问题进行整理，借以发现问题所隐含的特殊结构，以便找到相应的策略，使问题获解.这是因为，在一些数学问题中，常量与变量具有相对性，通过逆向思考、变换视角、反客为主等，可使它们相互转化.像这样一种通过确定主元来探索解题途径的方法，叫作主元法，一般原则是选次数最低的字母为主元，因为一般来说，式子或方程的次数越低，越容易处理或求解，但要提醒的是，定谁为主元要因“题”而宜，“主元法”并非对所有“多元”问题都适用，有时不分主次地直接操纵“多元”反而是合理的.

例1　设不等式2x-1>m(x2-1)对满足|m|≤2的一切实数m都成立，求实数x的取值范围.

解题策略　从表层看所给的是关于x的不等式，求的是x的取值范围，即解不等式求得x的取值范围.当然参数m必须满足|m|≤2，但是如果通过变更主元转化为关于m的一次函数，根据m的范围确定参数x的范围，这种将主元与参数进行换位思考的解题策略常常会使问题变得简单易解.

解：令f(m)=-(x2-1)m+2x-1，m∈[-2，2]，则原不等式等价于f(m)>0在m∈[-2，2]上恒成立.由于f(m)是关于m的一次函数或常值函数.

故有解得

从而实数x的取值范围是

例2　设函数f(x)是定义在(-∞，+∞)上的增函数.

(1)若不等式f(1-ax-x2)<f(2-a)对于任意a∈[0，1]恒成立，求实数x的取值范围；

(2)若不等式f(1-ax-x2)<f(2-a)对于任意x∈[0，1]恒成立，求实数a的取值范围.

解题策略　本例两小题所给的不等式是一样的.首先可利用函数的单调性，把函数值的相对大小转化为自变量的相对大小，接下来就是确认x和a这两个字母中究竟谁是“主元”，这很重要.第(1)问，把a作为主元(变量)、x作为常量，这种“反客为主”的解法，体现了转化与变换的数学思想，降低了计算的烦琐和难度，也说明了变量与常量的对立统一的辩证关系.应当指出，若以x为变量，a为参数，则必定要分类讨论，相比之下孰优孰劣一清二楚.第(2)问，以x为变量，把不等式恒成立问题转化为函数的最值解决，此时分类讨论是必需的；若用分离常数法(即参变分离)，则避开了分类讨论，解题过程较为简捷.

解：(1)解法一　∵f(x)是增函数，∴f(1-ax-x2)<f(2-a)对于任意a∈[0，1]恒成立⟺1-ax-x2<2-a，即x2+ax+1-a>0对于任意a∈[0，1]恒成立.令g(a)=(x-1)a+x2+1.

当x=1时，不等式恒成立；当x>1时，不等式恒成立；

当x<1时，只需g(a)=(x-1)a+x2+1的最小值g(1)>0，x2+x>0，x<-1或x>0，故x<-1或0<x<1.

综上所述，x<-1或x>0，即x∈(-∞，-1)∪(0，+∞).

解法二　由解法一得g(a)=(x-1)a+x2+1，a∈[0，1]，g(a)为关于a的一次函数，在[0，1]上是一条线段，由得x∈(-∞，-1)∪(0，+∞).

(2)解法一　∵f(x)是增函数，∴f(1-ax-x2)<f(2-a)对于任意x∈[0，1]恒成立⟺1-ax-x2<2-a对于任意x∈[0，1]恒成立⟺x2+ax+1-a>0对于任意x∈[0，1]恒成立，令h(x)=x2+ax+1-a，x∈[0，1]，

则原问题⟺h(x)min>0，且

即

由h(x)min>0，得a<1，即a∈(-∞，1).

解法二　∵f(x)是增函数，∴f(1-ax-x2)<f(2-a)对于任意x∈[0，1]恒成立⟺1-ax-x2<2-a对于任意x∈[0，1]恒成立.

即x2+ax+1-a>0对于任意x∈[0，1]恒成立.(www.xing528.com)

当x=1时，不等式x2+ax+1-a>0对a∈R恒成立，

当0≤x<1时，不等式可以变形为

设

设t=1-x，0<t≤1，函数可以变形为

由函数在0<t≤1上单调递减，知ymin=1+2-2=1，故a<1，综上，a∈(-∞，1).

例3　过圆x2+y2=r2内部一点M(a，b)作动弦AB，过A，B分别作圆的切线，设两条切线的交点为P.求证：点P恒在一条定直线上运动.

解题策略　常量与变量、静止与运动的角色是相对的，同一对象，根据需要，随时灵活选择和变换其角色，常得妙解，本例极具典型性.

证明　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，不妨将A，B，P都视为定点(视动为静)，先求直线AB的方程.

切线PA的方程为x1x+y1y=r2，切线PB的方程为x2x+y2y=r2.

∵P点在切线上，∴x1x0+y1y0=r2，x2x0+y2y0=r2，

这表明点A，B都在直线x0x+y0y=r2上，故直线AB的方程为x0x+y0y=r2.

又∵点M在直线AB上，∴x0a+y0b=r2　①

图7-3

任意P(x0，y0)都满足①式，故动点P必在直线ax+by=r2上(换静为动).

例4　如图7-3所示，点P在椭圆上移动，点Q在以点M(1，0)为圆心，半径为的圆上移动，当点P位于点P′，点Q位于点Q′时，P，Q两点距离最近，记最近距离为d，求d及P′，Q′的坐标.

解题策略　由于P，Q都是运动的点，位置的变动使问题变得抽象化、复杂化，若能以静制动，不妨先固定点P，把问题转化为在已知圆上找一点Q，使|PQ|最短，这时PQ必过圆心M，问题即可转化为求|PM|的最小值，至此不难求解(以静制动).

解：设P(x，y)是椭圆上任意一点，则P，Q，M三点共线，且Q介于P、M之间时，点P到圆上的点Q的距离最短，此时

即

记当时，f(x)有最小值此时即

易知且Q′恰为P′M中点，故