一般与特殊的转化与变换探究

当问题难以入手时，应先对特殊情况或简单情形进行观察、分析，发现问题中特殊的数量关系、结构或部分元素，然后推广到一般情形，以完成从特殊情形的研究到一般问题的解答的过程，这就是特殊化的化归策略，当然，在运用特殊与一般的思想方法解题时，必须认识到一般与特殊的关系是：一般成立，其特殊也成立；一般不成立，其特殊可能成立，也可能不成立；特殊不成立，其一般也不成立；特殊成立，其一般可能成立，也可能不成立.

这种用极端特殊的考虑解使问题迎刃而解的方法体现了一个数学原理，即极端原理，数学问题化难为易、化抽象为具体、化繁杂为简单，化生疏为熟悉，等等，都离不开极端原理，这是因为，用一个题目中涉及的对象的极端情形，去代替这一对象，而保留题目其余内容所得的题目，即是题目的极端情形，它往往比较容易、具体、熟悉，又由于极端情形的解与一般情形的解往往有共性.解极端情形往往会给解一般情形带来启示，主要体现在如下七个方面：

1.设计方案，运用极端原理(特殊情况)奠基，以特殊情况的解答为基础，进而做出一般情形的解答.

2.解答问题，运用极端原理(特殊情况)探路，有效地探得解题途径，打通解题思路.

3.定值问题，先用极端原理(特殊情况)探求，探明定值的数量，固其具体位置，从而在一般情形下加以验证.

4.穷举问题，运用极端原理筛选，对可能出现的情况或选择题的选择点“筛”和“选”，“筛”就是把一些极端情形的、不满足条件的对象“筛”掉；“选”就是把一些满足条件的对象(特殊情形)选出(构造出).

5.某些规律，运用极端原理(特殊情形)发现.

6.获得结论对否，运用极端原理(特殊情形或构造反例)检验.

7.讨论题解，运用极端原理(特殊情形)完善，使题解周密、完善，不致发生遗漏现象.

例1　设求sin2α+sin2β+sin2γ的值(β-α≠kπ，k∈Z).

解题策略　本例是条件三角函数式的求值问题，要直接求解是有困难的，通常所求得的值是个常数，对于题中给出的α，β，γ，还须符合β-α≠kπ(k∈Z)这个条件，所以先取特殊角代入试验，探测到这个常数，可取则α+β-γ=0=γ，满足已知条件，此时探测到了定值，问题就转化为证明sin2α+sin2β+sin2γ=0或sin2α=-(sin2β+sin2γ)或sin2α=-2sin(β+γ)cos(β-γ)等情形之一，解题的思路一下子开阔了.

证明　给定的条件是正切间的关系，要证明的是正弦间的关系，故可采用切化弦法，由已知得

为了产生角2α，由合分比定理，得

即

∴sin2α=-(sin2β+sin2γ)，即sin2α+sin2β+sin2γ=0.

例2　(1)已知数列{cn}，其中cn=2n+3n，且数列{cn+1-pcn}为等比数列，求常数p；

(2)设{an},{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn=an+bn，证明：数列{cn}不是等比数列.

解题策略　本题可由特殊性入手解决一般性结论，由于{cn+1-pcn}为等比数列已明确，则对特殊的n值也都成立，要证明数列{cn}不是等比数列，只要证明一个特殊的情形，只要其不符合定义，即可加以否定.

解：(1)∵数列{cn+1-pcn}为等比数列，则对特殊的n=1，2，3，有c2-pc1，c3-pc2，c4-pc3成等比数列，于是(c3-pc2)2=(c2-pc1)(c4-pc3)，由题设，c1=5，c2=13，c3=35，c4=97.∴(35-13p)2=(13-5p)(97-35p)，整理得p2-5p+6=0，解得p=2或p=3.

下面研究一般情况，即p=2或p=3时，数列{cn+1-pcn}是否为等比数列.

当p=2时，cn+1-pcn=cn+1-2cn=2n+1+3n+1-2(2n+3n)=3n，

则{cn+1-pcn}为等比数列.

当p=3时，cn+1-pcn=cn+1-3cn=2n+1+3n+1-3(2n+3n)=-2n，

则{cn+1-pcn}为等比数列.

综上，p=2或p=3.

(2)证明　要证明数列{cn}不是等比数列，只要证明一个特殊的情形，即c1，c2，c3不是等比数列,为此，设{an}，{bn}的公比分别为p，q，p≠q，则由cn=an+bn，得

由于p≠q，则p2+q2>2pq，因此

∴c1，c2，c3不是等比数列的项，进而，数列{cn}不是等比数列.

例3　设点A，F分别是双曲线9x2-3y2=1的左顶点和右焦点，点P是双曲线右支上的动点.

(1)若△PAF是直角三角形，求点P的坐标；

(2)是否存在常数λ，使得∠PFA=λ∠PAF对任意的点P恒成立？证明你的结论.

解题策略　第(1)问要考虑∠APF=90°和∠AFP=90°两种情况；第(2)问可以先求解某些特殊情况下λ的值，猜想一般结论并加以证明.

解：(1)设P点坐标为(x，y)，由已知则(www.xing528.com)

若∠AFP=90°，则代入9x2-3y2=1得y=±1，∴P点坐标为

若∠APF=90°，则

由得点坐标为

综上，P点坐标为

(2)当PF⊥x轴时，由(1)知|PF|=|AF|，∠PFA=2∠PAF，

猜想：当PF不垂直于x轴时，∠PFA=2∠PAF也成立.

设P点坐标为(x0，y0)，由对称性，假设P在第一象限，且PF不垂直于x轴，

又或

即2∠PAF及

图7-1

∴∠PFA=2∠PAF.

例4　已知从原点O出发的两条射线OP，OQ间的夹角为θ(0<θ<π)，又在OP，OQ上分别取点B，C，使之适合关系式：(k是一个正数)，如图7-1所示.

求证：直线BC恒过定点D，并用θ和k表示OD的长度.

解题策略　本题要证明直线BC恒过定点D，也就是探究D在图形的什么位置上.由于B，C是射线OP，OQ上的动点，只要适合关系式即可，k是一个正数，其值也没有确定，但显然这个定点D与题设中的角θ有关系，而与角关系最为密切的是角平分线，那么点D是否可能在∠POQ的角平分线上？若∠POQ=θ和k的值定了，这个点和OD的长度也就定了.这当然仅仅是一种猜想，为了验证这个猜想，可以运用特例引路，先把定点、定值确定下来，使探究的结论有个明确的方向，这是因为一般情况与特殊情况之间往往有某种内在的联系，或是论证方法有相似之处可供借鉴，我们先从特例入手得到某种结果，再证明这种结果在一般情形下仍然是成立的.

证明　从特例入手，取先探明点D所具有的特征.

图7-2

在射线OP，OQ上分别取异于B，C的点B1，C1，使OB1=OC1=4，OC=3，OB=6，令线段B1C1与BC相交于点D，如图7-2所示.

改变OB，OC的长度，可发现点D在∠BOC的平分线上.

事实上，过D作DE∥OB交OC于点E.

　　①

同理可得　　②

由①②得C1E=2CE，故C为C1E的中点，又C1C=4-3=1，

∴DE=C1E=OE=2∠1=∠2=∠3.即点D在∠BOC的平分线上.

一般地，令则如图7-2所示，设DE=x，过D作DE∥OB，交OC于E点，则有即故xk=t-OE·k(t-1)，即xk=t(1-OE·k)+OE·k，当OE·k=1时，上式对任意的t(t>1)恒成立.

此时，有x=OE，从而DE=OE，故∠1=∠3=∠2.

由此可得D点在∠BOC的平分线上，且与t的取值无关.

于是，问题等价于：

已知∠POQ=θ，B，C分别在OP，OQ上，且(k为定值)，BC交∠POQ的平分线于D.求证：OD为定值.

则

(定值).故直线BC恒过定点D，且D在∠POQ的平分线上，