使用对称变换方法解题的思想优化措施

在中学数学中，对称的问题主要有以下4种形式：

(1)中心对称：①点关于点的对称；②曲线关于点的对称.

(2)轴对称：①点关于直线的对称；②曲线关于直线的对称.

(3)平面对称：①点关于平面的对称；②曲线关于平面的对称.

(4)多项式对称：①一般轮换对称；②顺序轮换对称.

几何中的轴(面)对称和中心对称是最直观的对称，平面图形绕其内一定点旋转(n∈N*)的变换，也是常见的对称变换.

例1　定理一：函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a-x)的充要条件是y=f(x)的图像关于直线x=a对称.

定理二：函数y=f(x)满足f(a+x)-b=b-f(a-x)的充要条件是y=f(x)的图像关于点(a,b)成中心对称.

定理三：函数y=f(x)满足F(x)=f(x+a)-f(a)为奇函数的充要条件是y=f(x)的图像关于点(a,f(a))成中心对称(注：若a不属于x的定义域，则f(a)不存在).

依次解答如下问题：

(1)设函数y=f(x)的图像关于直线x=1对称，若x≤1时，y=x2+1,求x>1时y的解析式；

(2)若函数的图像关于点(0，1)中心对称，求m的值；

(3)已知函数f(x)在(-∞，0)∪(0,+∞)上的图像关于点(0，1)中心对称，且当x∈(0,+∞)时f(x)=x2+x+1.根据定理二求出f(x)在(-∞，0)上的解析式；

(4)设函数y=f(x)，y=g(x)在定义域R上的图像都是关于点(a,b)中心对称，则对于函数y=f(x)+g(x)，y=f(x)-g(x),y=f(x)·g(x)及指出其中一个函数的图像一定关于点成中心对称，再指出其中一个函数的图像可以不关于点中心对称，并分别说明理由；

(5)讨论函数的图像的对称性.

解题策略　第(1)问，直接利用定理一解；第(2)～第(4)问，直接利用定理二解;第(5)问，直接利用定理三解.

解：(1)f(x)的图像关于直线x=1对称，所以f(1+x)=f(1-x),即f(x)=f(2-x).

当x>1时，2-x<1,

因为x≤1时,y=x2+1，所以x>1时，

f(x)=f(2-x)=(2-x)2+1=x2-4x+5.

(2)由函数的对称中心为(0，m)，得f(x)+f(-x)=2,即2m=2,得m=1.

(3)设x<0,则-x>0，f(-x)=x2-x+1.

因为f(x)+f(-x)=2，所以f(x)+(x2-x+1)=2,得f(x)=-x2+x+1,

即当x∈(-∞,0)时，f(x)=-x2+x+1.

(4)对于函数y=f(x)+g(x),

由于f(a+x)+g(a+x)+f(a-x)+g(a-x)=4b成立.

则y=f(x)+g(x)的图像关于点(a,2b)中心对称.

对于函数y=f(x)-g(x),

由于f(a+x)-g(a+x)+f(a-x)-g(a-x)=0成立，

则函数y=f(x)-g(x)的图像关于点(a，0)中心对称.

对于函数y=f(x)·g(x)，可以不关于点或中心对称.

反例：f(x)=g(x)=x，此时y=f(x)·g(x)=x2，它的图像不关于点或中心对称.

对于函数可以不关于点或中心对称.

反例：f(x)=x5,g(x)=x3，此时它的图像不关于点或中心对称.

(5)当x≥3时，

当时，

当时，

由上可知函数的图像中间为一线段，右边为开口向上的抛物线的一部分，左边为开口向下的抛物线的一部分，因而图像只可能是关于某点成中心对称，且此点的横坐标

又是奇函数，

故f(x)的图像关于点即成中心对称.

图6-1

例2　在平面直角坐标系xOy中，平行于x轴且过点的入射光线l1被直线反射，反射光线l2交y轴于点B(如图6-1所示).圆C过点A且与l1，l2相切.

(1)求l2所在直线的方程和圆C的方程；

(2)设P，Q分别是直线l和圆C上的动点，求PB+PQ的最小值及此时点P的坐标.

解题策略　根据光学原理，光线的入射、反射问题具有轴对称的特点.在解第(2)问时，还应注意运用点关于直线对称的方法.

解：(1)直线l1：y=2，设l1交l于点D，则

因为l的倾斜角为30°,所以l2的倾斜角为60°.

所以

所以反射光线l2所在的直线方程为即

已知圆C与l1切于点A，设C(a,b).因为圆心C在过点D且与l垂直的直线上,则所以　　①

又因为圆心C在过点A且与l1垂直的直线上，所以　　②

由①②得故圆C的半径r=|CA|=2-(-1)=3,

所求圆C的方程为

(2)由(1)知点B(0,-4)关于l的对称点为B′(x0,y0),则且联立得

由点与圆的位置关系知当B′，P，Q3点共线时，PB+PQ最小，且直线B′Q过圆心C，故PB+PQ的最小值为|B′C|-3.

设P(x,y),由得解得即

最小值

例3　(1)已知直线l过原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，若点A(-1，0)和B(0,8)关于l的对称点都在C上，求直线l和抛物线C的方程；

(2)是否存在实数a，使抛物线y=ax2-1上总有关于直线对称的两个点？若不存在，说明理由；若存在，求a的取值范围.

解题策略　数学的对称美充满了整个数学世界,利用对称处理数学问题的思想方法即对称思想方法.在处理解析几何问题中,充分利用对称条件，引入对称点坐标参数，从而巧妙解答问题便是对称思想方法的灵活运用.第(1)问，A，B两点坐标已知，对称轴l过原点，可引入倾斜角θ为参数，则l的方程为y=tanθx，依次求出A，B两点关于直线l对称的A′，B′坐标，根据A′，B′两点在抛物线上，将其代入抛物线方程y2=2px，得到两个关于tanθ和p的方程组，解方程组即可求得tanθ和p的值，则直线l和抛物线C的方程即可求得.第(2)问，解法有两种：①如果存在对称的两点A，B满足题设要求，显然AB的中点M(x0,y0)在抛物线内部，构成一个含有a的不等式，从而确定a的取值范围；②按照对称问题的一般处理方法，即A，B两点连线与对称轴y=x垂直，AB的中点M(x0,y0)在对称轴上，且直线AB与抛物线y=ax2-1必有两个交点，消元后的一元二次方程必有两个不等的实根，判别式应大于0，进而可求解.(www.xing528.com)

图6-2

解：(1)设l的倾斜角为θ，则l的方程为y=tanθ·x.

设B,B′关于l对称，如图6-2所示，BB′与l交于点M，则∠BOM=90°-θ,∠B′Ox=-90°+2θ,从而B′的坐标为(8sin2θ,-8cos2θ).

同理点A关于l的对称点A′的坐标为(-cos2θ,-sin2θ),再将A′,B′的坐标分别代入y2=2px,得

由①②解得tan32θ=-8,即tan2θ=-2.

由解得为锐角，舍去则故l的方程为抛物线方程为

(2)假设存在抛物线上两点A(x1,y1)，B(x2,y2)关于直线对称，记线段AB的中点为M(x0,y0)，则点M在上，即

联立两式相减，得y1-y2=a(x1+x2)(x1-x2).

因为直线AB垂直于直线所以

又因为x1+x2=2x0,所以由得

❶若a>0,则点M(x0,y0)在抛物线y=ax2-1内部，得关系式

由不等式组解得

❷若a<0,则点M(x0,y0)在抛物线y=ax2-1内部，得关系式

由不等式组整理得此时无解.

综上所述，a的取值范围为

例4　在平面直角坐标系xOy中，点P到点F(3,0)的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍之和记为d.当点P运动时，d恒等于点P的横坐标与18之和.

(1)求点P的轨迹C的方程；

(2)设过点F的直线与轨迹C相交于M，N两点，求线段MN长度的最大值.

解题策略　题设中点F(3，0)和直线x=2是给出的，平面直角坐标系已经确定.在第(1)问中，求点P的轨迹C的方程，由于涉及点到直线的距离，须用到绝对值符号，所求方程一般是分段的，解题过程势必烦琐，分类讨论是不可避免的.第(2)问，过点F的直线与第(1)问求得的轨迹方程交于M，N两点，由于轨迹方程是分段的，所以需要讨论交点M，N在哪一段曲线上.若F是轨迹方程的焦点，本题就成了与圆锥曲线的焦点弦或焦半径有关的问题，一般情况下，在平面直角坐标系分析解决问题比较普遍与灵活，如果圆锥曲线是标准方程，对于椭圆、双曲线而言，其图形既关于坐标轴对称，又关于原点对称，对于抛物线，总有一条坐标轴为其对称轴.抓住对称性会给解题带来便利,要立足于学会并善于在平面直角坐标系中分析解决常规问题，对于圆锥曲线焦点弦的问题，在极坐标系中是否可能使问题变得容易解？如果直接进行两种不同坐标系的转换(即极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴)，则圆锥曲线的极坐标方程形式复杂且不同的圆锥曲线方程又不统一，直接转换没有优势，只有通过重建极坐标系(即以焦点F为极点，Fx为极轴重建极坐标系)，则圆锥曲线的极坐标方程是统一的，焦点弦长的计算就变得非常方便，问题的解决会简捷许多，对称性的运用可以减少运算过程.特别要强调的是，这里不是两种坐标系的“互化”，而是重新建系，这是一种极其有效的解题策略.

图6-3

解：(1)设点P的坐标为(x,y),则　　①

当x>2时，由①式得

化简得　　②

当x≤2时，由①式得

化简得y2=12x　　③

故点P的轨迹C是椭圆在直线x=2的右侧部分与抛物线C2：y2=12x在直线x=2的左侧部分(包括它与直线x=2的交点)所组成的曲线，如图6-3所示.

(2)解法一　(在已知平面直角坐标系内求解，充分利用图像的对称性)

图6-4

如图6-4所示，易知直线x=2与C1,C2的交点都是直线AF,BF的斜率分别为

由于点F是椭圆和抛物线的共同焦点，故可以用焦半径求解：

当点P在C1上时，由②式知　　④

当点P在C2上时，由③式知|PF|=3+x　　⑤

若直线l的斜率k存在，则直线l的方程为y=k(x-3).

❶当k≤kAF或k≥kBF,即或时，直线l与轨迹C的两个交点M(x1,y1),N(x2,y2)都在C1上，此时由④式知从而|MN|=

由得(3+4k2)x2-24k2x+36k2-108=0，

则x1,x2是这个方程的两根，

所以

因为当或时，k2≥24.

所以

当且仅当时，等号成立.

❷当kAF<k<kBF,即时，直线l与轨迹C的两个交点M(x1,y1),N(x2,y2)分别在C1,C2上，不妨设点M在C1上，点N在C2上(根据对称性，只需考虑这种情形)，则由④⑤两式知，

设直线AF与椭圆C1的另一交点为E(x0,y0),则x2<2，x0<x1，

有

所以|MN|=|MF|+|NF|<|EF|+|AF|=|AE|.

而点A，E都在C1上，且由❶可知所以若直线l的斜率不存在，则x1=x2=3,此时综上,线段MN长度的最大值为

解法二　以点F为极点，射线Fx为极轴重建极坐标系，则此时曲线C1(椭圆部分)和曲线C2(抛物线部分)的极坐标方程分别为

❶当时,直线l只与曲线C1相交，此时有

对有故

所以

❷当或时，直线l与曲线C1和C2都相交.

根据对称性，只考虑其一即可，不妨取且点N在C1上，点M在C2上，则有

设则在上是减函数，

故有

由 ❶❷可得此时或直线为AF或BF.