数形结合：解析几何问题的优化解

解析几何的本质是用代数方法研究几何问题，基本思想是数形结合.利用数形结合思想可以分析直线与圆、圆与圆的位置关系、直线与圆锥曲线位置关系.诸如解析几何中的对称问题，定点、定值问题，最值与范围问题以及轨迹探求等都离不开数形结合思想方法.

例1　(1)直线y=k(x-5)+1与曲线有两个不同的公共点，则k的取值范围是________；

(2)直线y=x+b与曲线所表示的曲线有两个公共点，则b的取值范围是________;

(3)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,若直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的取值范围是________.

解题策略　判断直线与圆的位置关系一般有两种方法：①代数法，将直线方程与圆方程联立并将方程组转化为一元二次方程，根据方程解的判别式即可讨论直线与圆的位置关系；②几何法，由圆心到直线的距离与圆的半径比较大小，即可判断出直线与圆的位置关系.但是这两种方法只适用于整圆的情况，若方程表示的图形并非整圆，则应当结合具体图形，利用数形结合的思想求解.

解：(1)直线y=k(x-5)+1过定点A(5,1)，如图5-87所示，kAC=0，kAB=有两个不同的公共点时，k的取值范围是

(2)曲线即(|x|-1)2+(y-1)2=1表示两个半圆.

当x≥1时，(x-1)2+(y-1)2=1；

当x≤1时，(x+1)2+(y-1)2=1，如图5-88所示，

当直线在l1时，当直线在l2时，b=1；当直线在l3时，当直线在l4时，b=-1；当直线在l5时，b=3.

∴b的取值范围是b=1或或

图5-87

图5-88

图5-89

(3)∵x2+y2-8x+15=0,∴(x-4)2+y2=1,因此圆C的圆心为C(4，0)，半径为1.

∴若直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，必须且只需点C到直线y=kx-2的距离如图5-89所示，即(2k-1)2≤1+k2，3k2-4k≤0,解得的取值范围是

例2　(1)若椭圆与抛物线y=x2+m有4个公共点，试探讨a，b，m应满足的关系；

(2)若圆(x-a)2+y2=4与抛物线y2=6x没有公共点，求实数a的取值范围.

解题策略　二次曲线与二次曲线的交点问题不同于直线与二次曲线位置关系的探讨，仅用判别式法是不够的，这是因为二次曲线是有范围限制且在一般情况下具有对称性，二者要结合起来一起讨论.由于我们研究的是曲线与曲线之间的位置关系，图形未必能把细微处的走向描述清楚，所以必须与代数运算结合起来，即华罗庚先生所言的：“数无形时少直观，形少数时难入微.”

图5-90

解：(1)作出椭圆和抛物线y=x2+m的图像，如图5-90所示.观察图像可得，当抛物线顶点在椭圆下方(m<-b)且抛物线穿过椭圆内部时，即-a2<m<-b时两条曲线有四个交点，作为充分条件，结论正确，但考虑的情形却没有考虑当时，抛物线与椭圆仍有交点，如的解为或或或所以有四个交点的一个极端情形应该是两条曲线相切.

由得于是两曲线有四个交点的条件是

(2)由于圆的半径为2，当圆与抛物线外切时，a=-2，于是a<-2时，圆与抛物线没有公共点；当圆与抛物线内切时，由得

x2-(2a-6)x+a2-4=0　　①

Δ=(2a-6)2-4(a2-4)=0，解得然而把代入方程①得此时解为是负根，显然圆与抛物线不能内切，

∴当x≥0时，问题等价于圆心(a,0)到抛物线距离d的最小值大于2，求a的取值范围.

设P(x,y)为抛物线上一点，则d2=(x-a)2+y2=(x-a)2+6x=[x-(a-3)]2+6a-9,设f(x)=[x-(a-3)]2+6a-9(x≥0),

当a-3>0即a>3时，f(a-3)最小，解得考虑到a>3,∴a>3；

当a-3≤0，即a≤3时，f(0)最小，∴dmin=a>2,此时2<a≤3.(www.xing528.com)

于是圆(x-a)2+y2=4与抛物线y2=6x没有公共点时，a的取值范围为a<-2或a>2.

例3　设椭圆的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率已知点到这个椭圆上的点的最远距离是求椭圆方程，并求椭圆上到点P的距离为的点的坐标.

解题策略　本题实质是根据点P到椭圆上的点的距离的最大值为求椭圆上符合此条件的点.解题时要心中有图，由于点P在y轴上，而y轴又是椭圆的一条对称轴，符合条件的点通常一定会成对出现，所以本题所求的点有两个.由于已知椭圆的离心率，只能将其中一个参数用另一个参数表示.若设椭圆上一动点坐标为(x,y)，得到的距离公式中必定含有一个参数，求最大值势必需要讨论.若设椭圆上一动点为参数式，既保留一个参数又引进一个新参数，也不易求解.如果能抓住图形的对称性，设以P点为圆心的圆与椭圆相切，结合判别式等于零，参数值可确定，符合条件的两个点的坐标也可轻松求得，这就是数形结合解题的好处.

解：

设椭圆方程为　　①

到椭圆上的最远距离为则可构造圆　　②

此圆必与椭圆相切，如图5-91所示，由①②整理得3y2+3y+-4b2=0　　③

图5-91

∵椭圆与圆相切，

∴b=1,则a=2.

则所求椭圆方程为　　④

把b=1代入方程③可得把代入④得

∴椭圆上到点P的距离等于的点的坐标为

例4　(1)求函数的最大值；

(2)设x，y为实数，若2x2+2y2-xy=4，求3x2+4y2的最大值.

解题策略　第(1)问，求函数的最大值，但是所给函数解析式结构复杂，无法用常规方法解.如果把解析式中被开方数变形，很容易联想到距离公式，原问题转化为某曲线上的动点与两定点的距离之差，则函数的最值问题立即转化为解析几何问题.同样，第(2)问，在一定的条件下求代数式的最大值，若通过消元转化为构造函数求最值显然困难重重，连消元都无法轻易办到，下一步无从谈起，应联想到方程2x2+2y2-xy=4对应的曲线是旋转后的圆锥曲线，挖掘代数式所反映的几何意义是解决问题的首选.当然，如果用代数法，通过巧妙变形也可达到解题目的，但解题的技巧较强，本小题的解法二可供读者赏析.

图5-92

解：(1)将给定的函数表达式变形为问题转化为求点P(x,x2)到点A(3，2)与B(0，1)距离之差的最大值.而点P的轨迹为抛物线y=x2,如图5-92所示.由A，B的位置知直线AB必交抛物线y=x2于第二象限的点C，由三角形两边之差小于第三边可知P位于C时，f(x)才能取到最大值.

(2)解法一　方程2x2+2y2-xy=4对应的曲线是旋转后的圆锥曲线，可以联想到用极坐标方程达到减少参数的目的，再利用代数式所反映的几何意义求得最值问题，把代入2x2+2y2-xy=4得：

ρ2

图5-93

令可看成是点(sin2θ,cos2θ)与A(4，7)连线的斜率，点(sin2θ,cos2θ)在圆x2+y2=1上，如图5-93所示.借助圆的方程与直线相切、相交的位置关系，可以得所求的最大值为

解法二　设

则

得得(2t2-3)(2t2+1)=0,解得

取则即3x2+4y2的最大值为