数形结合方法解决不等式问题

运用数形结合思想处理不等式问题，通常是从问题的条件与结论出发，着重分析其几何意义，从图形上找到解题途径.一般有如下两种方式：一是转化，即将代数式转化为几何式，比如含参数二次绝对值不等式的最值的求法，通过作图很容易找到取得最值的特殊点，从而使问题获解；二是构造，即构造图形或函数，比如解无理不等式，用代数法运算量大，若通过构造函数从图形解则简捷许多.利用数形结合思想解不等式的题型还有：解指、对数不等式，与不等式有关的恒成立问题，高次整式或分式不等式以及线性规划问题.

例1　(1)若不等式的解集为区间[a,b],且b-a=2,则k=________;

(2)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，|x-2a2|-3a2).若∀x∈R,f(x-1)≤f(x),则实数a的取值范围为(　　).

解题策略　第(1)问，设与显见直线过点且k>0，借助图形容易得出结果.第(2)问，通过分类讨论先求函数f(x)在[0,+∞)上的分段解析式并画出其图像，然后根据奇函数的性质画出函数f(x)在(-∞,0]上的图像，得到函数f(x)在R上的图像，进而将“∀x∈R,f(x-1)≤f(x)”转化为一元二次不等式求解.

图5-52

解：(1)如图5-52所示，设与直线过点不等式的解集就是图中直线在半圆上方的部分所对应的x的集合.这个集合为[a,b]，且b-a=2,

∴直线不可能是图中的m,这由-2-(-3)≠2所决定.∴直线就是图中的n.

在中，当x=1时，点B的坐标为

把代入得

(2)因为当x≥0时，

所以当0≤x≤a2时,

当a2<x<2a2时,

当x≥2a2时,

综上，函数在x≥0时的解析式等价于

因此，根据奇函数的图像关于原点对称作出函数f(x)在R上的大致图像如图5-53所示.

图5-53

观察图像可知，要使∀x∈R,f(x-1)≤f(x),则需满足2a2-(-4a2)≤1,解得故选B.

例2　设a是实数，解关于x的不等式

解题策略　原不等式化为本题可按无理不等式求解，但如果考虑不等式两端的几何意义，则可用构造函数的方法求解，通过数形结合获得结果，这是一种值得提倡的解法，这也是高考中经常考查的数学核心能力.

解：原不等式可化为

设作出两个函数的图像(如图5-54所示)，不等式的解集是直线y=-2x在半圆下方的部分所对应的x的集合.

图5-54

 1当a≠0时，解方程得(舍去).

∵9a2-x2≥0,∴-|3a|≤x≤|3a|.

这时原不等式的解集为

❷当a=0时，原不等式为

由-x2≥0得x2≤0.∵x2≥0恒成立，∴x=0，这时原不等式为“0>0”,矛盾，∴当a=0时，原不等式无解.

例3　(1)若函数则不等式的解集为________;

(2)已知a>0,a≠1,解不等式loga(4+3x-x2)-loga(2x-1)>loga2.

解题策略　第(1)问，由或及f(x)的分段表达式，即知所求不等式的解集是以下4个不等式组的解集之并集.

①②③④(https://www.xing528.com)

若不考虑首先去掉绝对值符号，则或

这两种解法运算量都较大.第(2)问，由原不等式，得loga(4+3x-x2)>loga(4x-2)，

则当0<a<1时，不等式的解应满足当a>1时，不等式的解应满足运算量也较大.若两题均采用数形结合的解法，则简捷多了.

解：(1)函数的图像如图5-55中的实线所示.

从而的图像如图5-56中的实线所示.为解不等式须观察图像，易解得与y=|f(x)|的交点为和

故不等式的解集为{x|-3≤x≤1},即[-3,1].

图5-55

图5-56

图5-57

(2)由原不等式得loga(4+3x-x2)>loga(4x-2),

令y=-x2+3x+4及y=4x-2,作出这两个函数的图像，其中y=-x2+3x+4>0与y=4x-2>0，两图像的交点为(2，6).如图5-57所示，从图像可以看出，当a>1时，应有<x<2；

当0<a<1时，应有2<x<4，

∴原不等式的解集：当0<a<1时，为{x|2<x<4};当a>1时，为

例4　(1)变量x，y满足

❶设z=4x-3y,求z的最大值；

❷设求z的最小值；

❸设z=x2+y2,求z的取值范围.

(2)已知实数x，y同时满足下列条件：2x+y-2≥0,x-2y+4≥0,3x-y-3≤0,那么x2+y2在x，y取何值时取得最大值，最小值？最大值、最小值各是多少？

解题策略　第(1)问，挖掘代数式及x2+y2的几何意义,完成符号语言与图形语言的转化，以数思形，以形辅数，准确作出可行域是关键，体现了数形结合的思想方法；第(2)问，在线性约束条件下确定可行域，设P(x,y),利用几何意义：x2+y2=,数形结合不难求出x2+y2的最大(小)值.

解：(1)可行域如图5-58所示的阴影部分，

图5-58

由解得

由解得C(1,1)，

由解得B(5,2).

❶由z=4x-3y得求z=4x-3y的最大值，相当于求直线的纵截距的最小值.平移直线知，当直线过点B时，最小，z最大，∴zmax=4×5-3×2=14.

的值即是可行域中的点与原点连线的斜率.观察图形可知

❸z=x2+y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方，结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，

∴2≤z≤29.

图5-59

(2)不等式组表示的可行域如图5-59所示，以原点为圆心作圆，显然，当圆过点A时，圆的半径最大，当圆与直线2x+y-2=0相切时，圆的半径最小.

解方程组得A点坐标为(2，3).

易得原点到直线2x+y-2=0的距离并求得切点B的坐标为故当x=2,y=3时，x2+y2有最大值，并且最大值为=13;当时，x2+y2取最小值，并且最小值为