以数辅形的三大法宝：代数法、解析法、向量法

以数辅形代数法，通常由题设构建函数模型并结合其图像解决求参数的取值范围，研究方程根的范围，研究量与量之间的大小关系，研究函数的最值问题和证明不等式；以数辅形解析法就是运用代数的方法研究几何问题，借助几何轨迹所遵循的数量关系，借助运算结果与几何定理的结合；以数辅形向量法就是通过向量坐标的代数运算研究图形问题.

数形结合，贵在结合，要充分发挥两者的优势，“形”有直观、形象的特点，但代替不了具体的运算和证明，在解题中往往提供一种数学解题的平台或模式，而“数”才是其真正的主角，若忽视这一点，很容易造成对数形结合的误用，务必引起注意.

例1　当正数a为何值时，抛物线与椭圆有4个不同的交点.

解题策略　本例是一道解析几何常规题，一般情况下，判断曲线交点的个数问题可以通过几何直观得到，但几何直观得到的结论是否一定正确，需要通过代数推理加以严格证明.由题意，作出椭圆与抛物线的图形如图5-13所示，由图可知只需a>4即可保证有4个交点，反之，有4个交点是否一定要a>4?而本例要求的是充要条件，一般情况下，仅从图形直观出发得出的结论，常常是片面的，不严密的，只有通过代数运算，推理得到的结论才是正确无误的，我们讲“数形结合”应当从数与形两个维度思考问题，深刻领会华罗庚先生所讲的“数无形时少直观，形少数时难入微”的内涵.

图5-13

解：将抛物线与椭圆方程联立，得

消去x得关于y的二次方程a2y2-36y+(144-9a2)=0.

两曲线有4个交点，等价于关于y的二次方程a2y2-36y+(144-9a2)=0在(-3,3)内有两个不同的解.

记f(y)=a2y2-36y+(144-9a2),使方程f(y)=0在(-3，3)内有两个不同解的充要条件是　解得

例2　设线段AB两端点在抛物线y2=x上移动，M为线段AB的中点，|AB|=a(a为大于零的常数)，求M到y轴的最短距离.

解题策略　本例解题时易走入如下误区：如图5-14所示，设F为抛物线的焦点，分别过A，B，M向抛物线的准线引垂线，垂足分别为A1，B1，M1，则由|AF|+|BF|≥|AB|,结合抛物线的定义及梯形中位线的性质，得所以|MM1|的最小值为从而M到y轴的最短距离为

上述解法是错误的，所给的图形并不能反映问题的本质，这是因为，过抛物线焦点的最短弦是抛物线的通径，只有在a≥1时，才符合以上的解法，而当0<a<1时，结合图形已无法判断，需要用方程知识来解决，可见，图形并不一定能彻底解决问题，必须辅以代数运算.

图5-14

解：设lAB:x=my+n,与y2=x联立，得y2-my-n=0.

当Δ=m2+4n>0时，y1+y2=m,所以x1+x2=(my1+n)+(my2+n)=m2+2n.

设M到y轴的距离为d，则

又|AB|=a,所以(m2+1)(m2+4n)=a2,得

所以设t=m2+1≥1，

则当0<a<1时，得在t∈[1,+∞)上是增函数，所以当t=1时，

图5-15

故当0<a<1时，点M到y轴的最短距离为

当a≥1时，点M到y轴的最短距离为

例3　如图5-15所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AC⊥AD,AB⊥BC,∠BAC=45°,PA=AD=2,AC=1.

(1)证明PC⊥AD;

(2)求二面角A-PC-D的正弦值；

(3)设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长.

解题策略　本例主要考查空间两条直线的位置关系、二面角、异面直线所成的角、空间两点间的距离，可以用“几何法”求解，也可以用“向量法”求解.“几何法”在于由“形”出发，观察“数”的特征，发现平行、垂直等几何关系中的数量关系，经历“作→证→求”的思维转化过程，体会“几何法”中所蕴含的数形结合思想，“向量法”也由“形”出发，把相关的点、线“坐标化”“向量化”，空间图形“向量化”归根结底就是点、线段“向量化”，体会“向量法”中所蕴含的数形结合思想.实践证明，通过建立空间直角坐标系，将几何对象坐标化，进一步利用向量的坐标运算，也就是代数运算，是解决空间几何体中求距离、夹角的好方法.

图5-16

证明　如图5-16所示，以为x，y，z正半轴方向建立空间直角坐标系A-xyz，则D(2,0,0)、C(0,1,0)、

(2)解法一　(几何法)：如图5-16所示，作AH⊥PC,垂足为H，联结DH，由(1)知PC⊥平面ADH,∠AHD即为二面角A-PC-D的平面角，记为θ.(www.xing528.com)

在Rt△PAC中，求得在Rt△DAH中，求得二面角A-PC-D的正弦值为

解法二　(向量坐标法)：设平面PCD的法向量则即得取

是平面PAC的一个法向量.

∴二面角A-PC-D的正弦值为

(3)设E(0,0,h)，则

解得

故AE的长为

例4　在直角坐标系xOy中，已知点A(1,1)、B(2,3)、C(3,2),点P(x,y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上.

(1)若求

(2)设用x,y表示m-n,并求m-n的最大值.

解题策略　平面向量是数形结合体现得最为完美的数学知识之一，第(2)问先由向量的坐标运算，将问题转化为线性规划问题，通过对图形的分析可得到多种以形助数，以数辅形的解法.

解：(1)解法一

又

解得x=2,y=2,即故

解法二　在△ABC中，为△ABC的重心，即P为△ABC三条中线的交点.

取AB的中点则AB边上中线EC的方程为y=2.

取AC的中点则AC边上中线BF的方程为x=2.

两直线的交点是重心P(2,2)，故

解法三　由两点间距离公式知

∴△ABC为等腰三角形，则重心P必在底边BC的高线y=x上，

设点P(t,t)，由重心的知识知解得t=2,故

解法四则

(2)解法一

两式相减得,m-n=y-x,令y-x=t.如图5-17所示，当直线y=x+t过点B(2,3)时，t取得最大值1，故m-n的最大值为1.

图5-17

解法二　由解法一知m-n=-x+y，令d为点P(x,y)到直线-x+y=0的距离，则由图5-17知点B和点C到直线y=x的距离最大，最大值为即故m-n的最大值为1.

解法三　将坐标化，有(x,y)=m(1,2)+n(2,1).

整理得两式作差可得m-n=-x+y.

设M(-1,1),则记与的夹角为α,

则转化为求在方向上投影的最大值，当点P与点B重合时，在方向上投影最大，将B(2,3)代入得m-n=-x+y=1.