数形转化与知识板块的交融与转化

数形转化的关键是构造法，数转化为形，即根据所给代数式的结构特征，构造出与之相对应的几何图形，用几何方法来解决代数问题；形转化为数，即用代数方法研究几何问题，这是解析几何的基本特征，通过数形转化实现了知识板块之间的转化，也开拓了自己的思维视野.

例1　求函数的最值.

解题策略　本例给出的函数解析式较为复杂(既含偶次根式，又是分式)，若拘泥于代数方法解必然产生心理障碍，所以对本题的分析必须再深入一步，有意识地从“数”和“形”两个方面进行感知活动，促使“数”与“形”之间的转化，由可联想到直线的斜率公式则一个函数求最值的问题立即转化为解析几何中的问题.

解：可看作点A(3,2)与动点的连线的斜率.

图5-9

而点B在半圆x2+y2=1(y≥0)上，

故原题即求点A(3，2)与半圆x2+y2=1(y≥0)上的点的连线的斜率的最值，如图5-9可知，当B为B1(1,0)时，AB斜率最大,为kmax=1;当AB切半圆于B2时，AB的斜率最小，设此时AB的斜率为k,AB的方程为y-2=k(x-3).

由

得舍去

故

例2　关于x的二次方程x2+z1x+z2+m=0中，z1，z2，m都是复数，且设这个方程的两个根α，β满足求|m|的最大值和最小值.

解题策略　复数与复平面上的点以及以原点为起点，该点为终点的向量三者之间建立了一一对应关系，求复数问题可以转化为向量的运算来解，也可以转化为复数方程的几何意义来解，这就是代数问题几何化的解题策略，它的优点是直观，避免了繁杂冗长的计算与推理，本例中根据α，β是关于x的二次方程x2+z1x+z2+m=0两根的条件，结合z1与z2的关系把转化为关于m的方程，利用方程的几何意义求|m|的最大值与最小值，解法既直观又简捷.

图5-10

解：由韦达定理得

则

∴|4m-(16+20i)|=28,|m-(4+5i)|=7.

如图5-10所示，复数m的对应点M在以(4,5)为圆心，7为半径的圆上.

例3　设x>0,y>0,z>0,求证：

解题策略　若用代数求证，必然要去根号，乘方后次数会很高，不容易获证.注意到x2-xy+y2=x2+y2-2xycos60°，显然表示为以x，y为边夹角为60°的三角形的第三边的平方(余弦定理可得)，于是这道不等式证明题立即转化为几何问题，即构造四面体“模型”解题.

证明　由题设x>0,y>0,有由余弦定理，(www.xing528.com)

此式表示以x，y为边所夹角为60°的三角形的第三边，

同理也有类似的几何意义.

这样，我们构造出顶点为O的四面体O-ABC,如图5-11所示.

图5-11

使∠AOB=∠BOC=∠COA=60°,OA=x,OB=y,OC=z,则有

四面体O-ABC的底面是△ABC,有AB+BC>AC,

即

例4　已知求的最大值.

解题策略　本题若从代数的角度考虑，直接代入消元后求最值，将很难顺利解决，所以应当挖掘题中条件和结论所蕴含的几何意义，将条件变形为可以看作直线过定点这是解决本题的一个突破口，结论可以看作Rt△AOB的内切圆的直径.原问题相当于求Rt△AOB内切圆直径的最大值，这是解决本题的另一个视角，可以朝这个方向制订解题方案.

解：将变形，得可以看作是直线过定点如图5-12所示.

图5-12

显然有，其中

故

当且仅当即时取得最大值