实现数形结合的关键在于转化

数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决问题的一种重要思想方法，也是一种智慧的解题技巧，数形结合的思想简言之就是代数问题几何化，几何问题代数化，即“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，可以帮助我们找到解决问题的思路和方法.

由“形”到“数”的转化，往往比较明显，而由“数”到“形”的转化则需要转化的意识，因此，数形结合思想的使用往往偏重于由“数”到“形”的转化.

例1　已知函数f(x)=|x2+3x|,x∈R，若方程f(x)-a|x-1|=0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为________.

解题策略　所给的方程既含参数，又含绝对值符号，恰有4个互异的实数根，求参数的取值范围，用代数的方法直接解是困难的，只有通过转化为不同函数的图像交点问题才能获得结果，难点当然是如何把方程问题转化为函数问题(有时转化的方法不唯一)，关键点是在定义域范围内较为精确地画出函数的图像，本题中的方程可转化为函数y=a|x-1|与y=|x2+3x|有4个交点问题，也可转化为函数与y=a有4个交点问题，其中一个函数带有参数，从而构造的两个函数一动一静，直观易解.

解法一　显然a>0，用数形结合的方法，分别作出函数y=a|x-1|与y=|x2+3x|的图像，两图像一动一静，如图5-2(a)所示，当y=-a(x-1)与y=-x2-3x相切时a=1,此时f(x)-a|x-1|=0恰有3个互异的实数根，显然当0<a<1时，方程有4个互异的实数根.

如图5-2(b)所示，当直线y=a(x-1)与y=x2+3x相切时，a=9,此时f(x)-a|x-1|=0恰有3个互异的实数根，当a>9时，方程有4个互异的实数根.

综上，实数a的取值范围为0<a<1或a>9.

解法二　显然

令t=x-1,则

如图5-3所示.

结合图像可得0<a<1或a>9.

(a)

(b)

图5-2

图5-3

例2　在平面内，定点A,B,C,D满足动点P，M满足则的最大值是(　　).

解题策略　可通过发散思维构造符合题意的图形，在新的图形背景下获得较多的解法.

图5-4

解法一　由题意，可知，D到A，B，C3点的距离相等，D是△ABC的外心，同理可得DA⊥BC、DC⊥AB,从而D是△ABC的垂心，∴△ABC的外心与垂心重合，因此△ABC是正三角形，且D是△ABC的中心，

∴正△ABC的边长为

以A为原点，建立直角坐标系，B，C，D三点坐标分别为如图5-4所示.由设P点坐标为(cosθ,sinθ)，其中θ∈[0,2π),而即M是PC的中点，∴点M的坐标为则当时，取得最大值故选B.

图5-5

解法二　由知，点A，B，C在以点D为圆心的圆上，设圆的半径为r，由得r2cos∠ADB=r2cos∠BDC=r2cos∠CDA=-2,∴∠ADB=∠BDC=∠CDA=120°,代入上式得r=2.以点D为原点，以DA所在直线为x轴建立直角坐标系，如图5-5所示，易求得

由知，动点P在以A为圆心，半径为1的圆上，故可设P(2+cosθ,sinθ),其中θ∈[0,2π),又由知点M为PC的中点.

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而

故选B.

图5-6

解法三　如图5-6所示，

∴D是△ABC的垂心，又

∴△ABD≌△BCD≌△ACD,由

是PC中点，取AC中点N，联结

当且仅当与同向共线时，有最大值为故选B.

解法四　由题意，D是正△ABC的中心，且

设由知M为线段PC的中点，

设M(x,y),则由得

即点M的轨迹为圆圆心为

于是|BM|的最大值为故的最大值为

例3　已知求函数的最小值.

解题策略　本题是双变量三角函数最小值的求解，结构复杂，难以直接求解，不妨借助于图形去探索，去开辟新路，核心问题就变成如何以形助数，如何把“数”的问题转化为“形”的问题，并通过对形的分析解决数的问题.

解：设且可得圆弧C1：x2+y2=6(x>0,y>0);

图5-7

又设x=3tanβ,y=3cotβ,且可得等轴双曲线一支C2:xy=9(x>0,y>0),于是函数z的几何意义为曲线C1上的点与曲线C2上的点之间距离的平方，从而“数”的问题转化为“形”的问题，如图5-7所示，设过圆心的直线y=x与曲线C1，C2分别交于A，B两点，由图知AB的平方为z的最小值，即

例4　(2019年高考数学江苏卷理科第14题)设f(x),g(x)是定义在R上的两个周期函数，f(x)的周期为4，g(x)的周期为2,且f(x)是奇函数.当x∈(0,2]时，其中k>0.若在区间(0,9]上，关于x的方程f(x)=g(x)有8个不同的实数根，则k的取值范围是________.

解题策略　本题考查函数的图像与性质、函数与方程、直线与圆的位置关系，解题的突破点是数形结合思想的灵活应用，以形助数，首先要找到“形”，而要准确地找到“形”，则首先要把函数的性质“吃透”，只有顺顺当当地画出图形.才能精准解决“数”的问题.

图5-8

解：当x∈(0,2]时，即(x-1)2+y2=1,y≥0,即函数f(x)表示以(1,0)为圆心、1为半径在x轴上方部分的半圆，又f(x)是奇函数，且周期为4,可画出函数f(x)在(0,9]上的图像，再在同一坐标系中作出函数g(x)在(0,9]上的图像，关于x的方程f(x)=g(x)在(0,9]上有8个不同的实数根，即两个函数图像在(0，9]上有8个不同的交点.如图5-8所示.

则函数g(x)与f(x)在(0,1]的图像有2个不同的交点，当直线g(x)=k(x+2)经过点(1，1)时，当直线g(x)=k(x+2)与半圆(x-1)2+y2=1(g≥0)相切时，解得(舍负)，所以k的取值范围是