中学数学研究的对象可分为数与形两大部分，“数”主要指实数、复数或代数对象及其关系，属于数学抽象思维范畴，是人的左脑思维的产物；“形”主要指几何图形，属于形象思维范畴，是人的右脑思维的产物，数和形是数学的基石，两者是有联系的.自从笛卡尔把坐标和变量引入数学，就为数与形的结合与转化提供了可能，给数学提供了一个双向工具：几何概念可以用代数表示，几何目标可以通过代数来表达；反之，给代数语言的几何解释，从而直观地掌握这些抽象的语言的意义，并得到启发去探索新的结论.数形结合使人充分运用左、右脑的思维功能，相互依存、彼此激发，全面、协调、深入发展人的思维能力.
实验告诉我们：有丰富形象的材料比纯抽象材料容易记忆.据双重编码理论，抽象材料只有言语编码，而形象材料既有言语编码，又有表象编码，这样的编码可以延长记忆.针对一般中学生的智力特点，他们是以第一信号系统占优势的，所以直观的形象记忆比逻辑记忆发达；因此在数学教学中，讲到符号语言表达的抽象材料，可以尽量配以一定的直观形象的图形、模型来增强记忆效果.数与形是对立统一的，数量关系往往隐含着几何模型，几何问题又时时牵涉到数量关系，图形有形象直观的优点，往往能起定性的作用，而在定量方面必须借助于代数的计算分析，两者结合，取长补短，方能收到事半功倍的效果，在数学解题中，数形结合具有极为独特的策略指导与调节作用.
中外数学家对数形结合解题十分重视，华罗庚先生说：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞？数无形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休，切莫忘：几何代数统一体，永远联系，切莫分离.”美国数学家斯蒂恩说：“如果一个特定的问题可以被转化为一个图形，那么思想就整体地把握了问题，并且能创造性地思索问题的解法.”苏联数学家柯尔莫戈罗夫也说：“在只要有可能的地方，数学家总是力求把他们研究的问题尽量地变成可借用几何直观的问题.”他们都明确地指出了数学解题中的数形结合以及互相转化的思维方法，通过“以形助数”及“以数辅形”寻找巧妙快捷的解题路线.
数与形结合的思想是通过数形间的对应与互助来研究问题并解决问题的思想，不但使几何问题由于代数化而获得新的面貌，而且给代数提供几何模型，并借助几何的成果获得新的解法，数形结合解题常使我们的思维豁然开朗，视野格外开阔，不少精巧的解法正是数形相辅相成的产物.
1.以形助数
以形助数，就是充分利用形的直观性来揭示数学问题的本质属性，根据形来探求解题思路或找到问题的结论，引导学生利用图形探路子，结合图形找式子，实质就是代数问题的几何解法.
有些代数问题直接根据数量关系求解显得较为繁难，甚至一下子难以找到解题思路，但若能把欲解(证)的问题转化为与之相关的图形问题，使数量关系形象化，再根据图形性质和特点进行解题，则常能节省大量繁杂的计算，使问题的解答简捷直观，别具一格.以形助数的关键是数如何转化为形，以形助数的两大抓手是利用函数图像思想和利用几何意义思想，基本类型如下：
(1)与函数有关的问题，函数的图像及性质常常是解决问题的突破口，若所给出的问题表面上看并不是函数问题，则构造出函数模型很重要.
(2)方程与不等式的解的问题，若方程或不等式两边的表达式有明显的几何意义，或通过某种方式可以与图形建立联系，则可设法构造图形，将方程或不等式所表达的抽象数量关系转化为图形的位置或度量关系加以解决，对于含参数的方程与不等式的求解，若采用一般的代数解法避免不了进行艰难的演算，容易错解或漏解；若用几何法，常能收到事半功倍之效.
(3)求最值问题，通过图形架设与数量间的桥梁，常常能够凭借特殊位置，图形的性质等直观优势得到简捷解答，当然如何构作相应的几何图形是关键.
(4)与复数有关的问题，利用复数与复平面上的点以及相应向量之间的一一对应关系，常考虑用复数及其运算的几何意义来解决.(www.xing528.com)
(5)在有些不等式的证明中，构造相关的辅助图形，可形象地揭示一些量之间的制约关系，简化某些烦琐的运算与推理过程.
2.以数辅形
以数辅形，利用数来研究形的各种性质，也就是几何问题的代数解法，笛卡尔通过建立点与有序数组的对应实现了“位置的量化”，是以数辅形的一个根本点，从而把图形的位置关系转化为数量关系，基本类型如下：
(1)平面几何题的代数解法主要有坐标法、复数法或向量法、三角法等，特别是涉及图形大小比较的问题，大多数都借助数的知识，化为数量关系进行研究，这就是一种以数辅形的做法.从原则上讲，所有的平面几何问题都可以用这些方法求解，当然仅是可以导致简明优化的解法时才考虑用到这些方法，因为平面几何自身也有一套完美的公理化体系的解法与证法.
(2)三角学的崛起体现数与形的“战术性”结合，为数学开辟一个广阔的新天地，三角函数图像问题总是与其性质的研究互相交融，互为补充.
(3)解析几何的建立是数与形的“战略性”结合的标志，如讨论直线与圆的位置关系通常转化为讨论圆心到直线的距离与半径的关系，显然是一种以数辅形的做法，如研究直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系，由此得出的一系列问题如相切、相交、弦长、面积、最值、对称等的研究完全可以用代数的方法即解析法来解决.
(4)向量是数形结合思想的又一重要阵地，向量的坐标表示及其向量坐标解法是以数辅形的好解法，易于操作.
以数辅形的主要途径是坐标法，又称解析法，坐标法的基本思想在于几何问题代数化，图形性质坐标化，把有关图形的问题“翻译”成相应的代数问题，然后用代数知识进行演算、论证，最后把所得的结果“翻译”成几何图形的性质，以达到求解求证几何问题的目的，坐标法(解析法)的运作路线如图5-1所示。
图5-1 坐标法的运作路线
当然，以形助数、以数辅形也不是互相分隔的，在常规解题中，有时常把两者结合起来，即既以形助数，又以数辅形，可称之为数形互助，这样的例子很多，让我们不妨从数形结合的观点去开辟解题的新路.
免责声明：以上内容源自网络，版权归原作者所有，如有侵犯您的原创版权请告知，我们将尽快删除相关内容。
