参数思想解题是个不错的方法

时间：2026-01-24 理论教育懓樺版权反馈

【摘要】：数学教育家G.波利亚指出：引入辅助元素可“使问题的概念更完整，更富于启发性，更为人所熟悉”，是个“好念头”.因此，当问题的条件和结论不易发生关系或关系不明朗时，借助辅助元素——参数为媒介，可使条件和结论联结起来，让问题变得明朗，再进行分析和综合，从而解决问题.参数法解题的关键是恰到好处地引进参数，沟通已知和未知之间的内在联系，常用参数有：代数中的比值参数、实数参数、代数式参数等(换元法就是引入参数

数学教育家G.波利亚指出：引入辅助元素可“使问题的概念更完整，更富于启发性，更为人所熟悉”，是个“好念头”.因此，当问题的条件和结论不易发生关系或关系不明朗时，借助辅助元素——参数为媒介，可使条件和结论联结起来，让问题变得明朗，再进行分析和综合，从而解决问题.

参数法解题的关键是恰到好处地引进参数，沟通已知和未知之间的内在联系，常用参数有：代数中的比值参数、实数参数、代数式参数等(换元法就是引入参数的典型例子)；几何中常用角参数、长度参数等；解析几何中常用斜率参数、坐标参数等.

引进参数的目的是能使问题轻松获解，这是参数法的基本原则.所以，引进参数必须合理，除了要考虑问题中条件与结论的特点外，还必须注意某些量的取值范围，必要时还要对参数的变化范围进行讨论.还应提醒的是原问题并非关于参数的问题，参数并不是直接研究的对象，它只起“桥梁”和转化作用，所以当求得间接解后要倒回去确定原问题的解.

参数法解题的特点概括起来是：引入参数、参与推导、消去参数、显露结论.

参数思想在解析几何内容占有很重的分量，直线方程、曲线方程的一般形式中的字母系数都可看作参数，参数思想的熏陶与运用是这门学科的重要特色，参数法也是求轨迹方程的重要方法，应给予足够的重视.

例1　(1)已知且求的值；

(2)已知且x，y为实数，|z1|+|z2|=6，

求f(x,y)=|2x-3y-12|的最大值和最小值；

(3)实数x，y满足4x2-5xy+4y2=5，设S=x2+y2，求的值.

解题策略　第(1)问，由条件直接消元即消去sinθ，cosθ得x，y的关系式再求的值运算量太大，若引进中间参数k，即设则很容易将条件中的sinθ，cosθ消去，再引进则又把问题转化为t的方程,解之不难.第(2)问，把复数方程转化为椭圆标准方程，引进角参数，进一步把椭圆标准方程转化为椭圆的参数方程，又一次转化为求三角函数的最值问题.第(3)问有多种引入参数的方法，方法一：由x2+y2=S，联想到三角公式cos2α+sin2α=1，参进参数α.通过“三角换元法”将问题转化为熟悉的简单三角函数求S的最大值和最小值，还可由的有界性解不等式求S的最大值和最小值.方法二：引进两个参数a,b，采用“对偶换元法”(和差换元)将问题转化为二次函数求解.

解：(1)设则且sin2θ+cos2θ=k2(x2+y2)=1，则由条件得即

设则解得t=3或或

(2)由得

令(θ为参数).

将f(x,y)转化为g(θ)=|6cosθ-6sinθ-12|,

当即时，

(3)解法一　设代入条件得4S-5Ssinαcosα=5，

解得

∵-1≤sin2α≤1,∴3≤8-5sin2α≤13.

解法二　设x=a+b，y=a-b，代入条件整理得3a2+13b2=5，则

解法三　由S=x2+y2,设

则代入已知式得移项平方整理得100t2+39S2-160S+100=0,∴39S2-160S+100≤0,解得

例2　(1)已知定点Q(0,-4),P(6,0),动点C在椭圆上运动，求△QPC面积的最大值和最小值；

(2)在双曲线x2-2y2=2上求一点P，使它到直线x+y=0的距离最短，并求出这个最短距离.

解题策略　第(1)问，定点Q(0，-4)，P(6，0)的距离|PQ|是定值，点C是椭圆上的动点，要求△QPC面积的最值实质上是求点C到直线PQ的距离d的最值.若设C(x,y)，则d的表达式必包含x,y两个变量，消元后带有无理式，不易求解；若设C(3cosθ,2sinθ),则利用三角知识易求得d的最值.第(2)问，利用双曲线的参数方程，通过求距离将所得等式转化为一元二次方程，并用判别式法求d的最小值和相应点P的坐标.

解：(1)由题意易知直线PQ的方程为

又∵椭圆的参数方程为(θ为参数，且0≤θ<2π),

则椭圆上点C(3cosθ,2sinθ)到直线PQ的距离

显然，当时，d最大，且此时S△PQC的最大值为

当时，d最小，且此时S△PQC的最小值为

(2)设双曲线-y2=1上一点P的坐标为则它到直线x+y=0的距离为

从而去分母整理，得

∵sinα是实数，解之，得

当时,或

这时　或

图4-2

故当双曲线上的点P为(-2，1)或(2，-1)时，它到直线x+y=0的距离最小，这个最小值为

例3　(1)直线l过抛物线y2=2px(p≠0)的焦点，并且与抛物线交于A、B两点，求证,对于抛物线的任何给定的一条弦CD，直线l不是CD的垂直平分线;

(2)如图4-2所示，抛物线C1：x2=4y,C2:x2=-4y,点M(x0,y0)在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B(M为原点O时，A,B重合于O)，当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程(A,B重合于O时，中点为O).

解题策略　第(1)问，引进抛物线y2=2px的参数形式：(t为参数).将抛物线实行动点化处理.即设利用l过焦点与CD的中点M，求出直线l的斜率和直线CD的斜率.再利用反证法推出若l与CD垂直会产生矛盾，从而使问题获证.第(2)问，直接利用抛物线的参数方程表示A的坐标的坐标从而得到AB中点N的坐标在求得切线MA，MB的方程后把点M坐标(x0,y0)代入.易得双参数t1,t2是关于t的一元二次方程的根,利用韦达定理并消去参数可得所求点N的轨迹方程.

解：(1)证明　∵直线l与抛物线交于两点，∴l与抛物线的轴不可能重合或平行，设不可能关于抛物线的轴对称，∴t1+t2≠0，则C，D的中点坐标

∵l过焦点且过点M.(https://www.xing528.com)

∴直线l的斜率

又∵直线CD的斜率

若直线l垂直平分CD，则kl·kCD=-1，即

则这与矛盾.

∴直线l不是CD的垂直平分线.

(2)当M为原点O时，A,B重合于O，中点为O，即点N的轨迹为点(0，0)，当A,B不重合于O时，设点A的坐标为点B的坐标为则点N的坐标为

切线MA的方程为

同理切线MB的方程为又∵点M的坐标为(x0,y0),且在AM，BM上，

是方程4t2-2tx0+y0=0的两个根，

由韦达定理得

∴可得

即点N的轨迹方程为也满足，故点N的轨迹方程为

例4　(1)过点P(2，1)作椭圆的弦，求：

❶P为弦中点时，弦所在的直线方程；

❷P为弦三等分点时，弦所在的直线方程.

(2)已知椭圆的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.

❶当t=4，|AM|=|AN|时，求△AMN的面积；

❷当2|AM|=|AN|时，求k的取值范围.

解题策略　第(1)问，可运用直线的参数方程，其标准式为(t为参数)，表示过点P0(x0,y0),倾斜角为α的直线.参数t的几何意义是：|t|表示直线上的点P(x,y)到定点P0(x0,y0)的距离，当P在P0点上方时，t>0；当P在P0点下方时，t<0；当P与P0点重合时，t=0，反之亦然.第(2)问，涉及直线过定点的旋转问题，通常用直线的参数方程解比较简捷.