变元与参数的思想方法的优化

G.波利亚指出:“引入辅助元是引人注目的一步，人的高明之处就在于当他碰到一个不能直接克服的障碍时，他会绕过去；当原来的问题看起来似乎不好解时，就会想出一个合适的辅助问题，构想一个辅助问题是一项重要的思维活动.”

本章把重点放在辅助元的引入以及在解题中的作用，论述变元与参数的思想方法.变元即引进辅助元，是指通过字母变元(或表达式)表示，代替或转化为某些确定的数学对象，将数学问题化繁为简、化难为易，化未知为已知，从而达到所求目标的一种思维倾向，即换元思想.它的理论依据是等量代换.辅助元素一般是通过分析条件和题型特征，从解决问题的需要角度来确定的，运用换元思想处理问题的具体操作过程中，实施未知量或变量的替代，其关键是确定替代关系，替代关系的确定通常是：以新元代旧元，以新式替旧式，赋旧元以新式，以新式替旧式，从换元的形式来看，常用的有比值代换、根式代换、变量代换、初等函数代换、常值代换、三角代换等.从思想方法的角度来看，常有整体代换、局部代换、均值代换、倒置代换、对称代换等.

变元作为一种重要的数学方法，在多项式的因式分解、代数式的化简、恒等式或不等式的证明，方程、方程组、不等式、不等式组或混合组的求解，函数表达式、定义域、值域或极值的探求等问题中都有广泛的应用.(www.xing528.com)

换元法的特点是原题中的旧元或旧式是存在的，为了问题容易解决，用新元或新式来代替旧元或旧式，而参数则不同.参数可以是原来就存在的，可能原来没有把它作参变量看.比如直线方程y=kx+b，若把k看作参数，则表示过定点(0,b)的直线系方程，若把b看作参数，则表示斜率为k的直线系方程.参数也可以是为了使问题的条件和结论发生关系或使关系明朗化而引进的，参数的出现并不需要旧元或旧式的依托，参数是解析几何中的第三变量，是桥梁或探测器，比如在解有关圆、椭圆、双曲线、抛物线的问题时，可以引进x、y之外的第三变量将圆、椭圆、双曲线、抛物线的直角坐标方程化为参数方程.在一个数学问题中，决定其本质特征的量，都可称之为独立参数.