运用函数与方程思想解析几何问题优化方法

函数与方程思想在解析几何中的应用非常广泛，特别是体现在直线与圆锥曲线位置关系的研究中.直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实质是联立方程组消元后讨论一元二次方程是否有实数解或实数解的个数问题，两圆锥曲线的交点问题除了通过方程组讨论外还要考虑曲线的对称性和范围，曲线的特征常常起到关键作用，当直线与圆锥曲线相交时，涉及弦长问题，常用根与系数的关系设而不求，即代入弦长公式计算弦长，涉及相交弦的中点问题，常用“点差法”设而不求.直线的斜率和倾斜角这些参变量在解题中发挥重要作用，方程理论在解析几何学习中至关重要，利用函数与方程思想解圆锥曲线的最值与范围问题，研究其定值或过定点问题以及曲线的对称性问题是常见的重要题型.

例1　求证：对任意实数a≠-2，动圆(a+2)x2+(a+2)y2-4x-2a=0恒过两定点.

解题策略　本例有两种证法：一是运用特殊值法，即取a=0和a=-1，求出或再验证圆系过定点(1，1)和(1，-1)；二是如果把动圆方程转化为关于实数a的一次函数，由这个一次函数恒为零，推出一次项系数及常数项均为零，这就是函数与方程思想的典型应用之一，下面给出的正是这种证法.

证明　圆系方程可化为(x2+y2-2)a+2x2+2y2-4x=0.

设f(a)=(x2+y2-2)a+2x2+2y2-4x.

∵f(a)=0对a∈R(a≠-2)恒成立，

　解得或

因此，圆系过定点(1，1)和(1，-1).

例2　已知圆C经过点A(-2，0)，B(0，2)，且圆心在直线y=x上，又直线l：y=kx+1与圆C相交于P，Q两点.

(1)求圆C的方程；

(2)过点(0，1)作直线l1与l垂直，且直线l1与圆C交于M，N两点，求四边形PMQN面积的最大值.

解题策略　本例的解题核心在第(2)问，求四边形PMQN面积，关键在于选择合适的参数作自变量，容易想到的是选择直线l的斜率k作为自变量，用斜率k的式子表示弦PQ的长度，同理可得弦MN的长度，也可用含k的式子表示，结合图形特征得到函数S=f(k)，进而运用函数思想、方程理论与不等式知识求其最大值.当然，根据圆方程的几何特征，可以得到一种简捷的解法，供读者赏析.

解：(1)由题设知圆C的圆心既在AB的中垂线上，又在直线y=x上，易得圆心为原点，半径为2，∴圆C：x2+y2=4.

(2)解法一　设四边形PMQN的面积为S，当直线l的斜率k=0时，则l1的斜率不存在，此时

当直线l的斜率k≠0时，设

联立得(1+k2)x2+2kx-3=0，所以有

同理可得

S

因为所以

当且仅当k=±1时等号成立，所以四边形PMQN的最大值为7.

解法二　设圆心O到直线l，l1的距离分别为d，d1，四边形PMQN的面积为S.

因为直线l，l1都经过点(0，1)，且l⊥l1，根据勾股定理，有

又根据垂径定理和勾股定理可得

而

即S

当且仅当d1=d时等号成立，所以四边形PMQN的最大值为7.

图3-8

例3　如图3-8所示.已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线对称.

(1)求实数m的取值范围；

(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点).

解题策略　利用函数与方程的思想解决圆锥曲线的最值与范围问题，通常从以下几个方面考虑：

(1)直线与圆锥曲线的位置关系的讨论，通常直线方程联立圆锥曲线方程，消元后利用一元二次方程根的判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围.

(2)利用已知参数的取值范围，求新参数的取值范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系，利用求函数值域的方法，确定新参数的取值范围.

(3)建立目标函数解与圆锥曲线有关的最值问题，是常规方法，其关键是选取适当的变量建立目标函数，然后运用求函数最值的方法确定最值.

(4)与圆锥曲线有关的最值或范围问题大都是综合性问题，解法灵活，技巧性强，涉及代数、三角函数、平面几何等方面的知识，数形结合的方法常常能起到画龙点睛的作用.

解：(1)由题意知m≠0，可设直线AB的方程为

由　消去y，得(www.xing528.com)

因为直线与椭圆有两个不同的交点，

所以　　①

将线段AB中点代入直线方程

解得b=　　②

由①②得或

(2)令则

且O到直线AB的距离为设△AOB的面积为S(t)，

所以

当且仅当时，等号成立，故△AOB面积的最大值为

例4　设椭圆过两点，O为坐标原点.

(1)求椭圆E的方程；

(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围；若不存在，说明理由.

解题策略　本例是一道综合性较强的难题，难点有：①在直线与椭圆的位置关系讨论中，容易忽视直线AB的斜率不存在的情况，分类讨论的思想必须把握好；②存在性问题的讨论，合理转化数学问题是关键，函数与方程的思想方法在解题过程中将发挥重要作用；③第(2)问的解答可以用不同的方法处理，其中用函数的单调性可以使解题过程变得简洁明了.

解：(1)将M，N的坐标代入椭圆E的方程得　解得a2=8，b2=4，

所以椭圆E的方程为

(2)假设满足题意的圆存在，其方程为x2+y2=R2，其中0<R<2，设该圆的任意一条切线AB和椭圆E交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，当直线AB的斜率存在时，令直线AB的方程为y=kx+m　　①

将其代入椭圆E的方程并整理得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-8=0，

由韦达定理得　　②

因为所以x1x2+y1y2=0　　③

将①代入③并整理得(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0.

联立②得　　④

因为直线AB和圆相切，因此由④得

所以存在圆满足题意.

当切线AB的斜率不存在时，易得

由椭圆E的方程得显然综上所述，存在圆满足题意.下面求|AB|的取值范围.

解法一　(常规解法)当切线AB的斜率存在时，由①②④得

|AB|

=

令则

因此

即

当切线AB的斜率不存在时，易得

综上所述，存在圆心在原点的圆满足题意，且

图3-9

解法二　(妙思巧解)如图3-9所示，过原点O作OD⊥AB，垂足为D，则D为切点.

设∠OAB=θ，则θ为锐角，且

令t=tanθ，易证：当时，单调递减.

当时，单调递增.