用函数性质解题：构造函数的应用

如果所给出的数学问题从表面上看是非函数问题，但其中有隐含的函数关系，这就要求我们将问题中隐含的函数关系凸显出来，从而充分运用函数知识或函数方法使问题顺利获解；还有些数学问题尽管函数形态已很明显，由于含有参数，如果问题是求参数的取值范围，按照原有的函数关系很难轻松解决问题，不妨转换思维角度，放弃题设的主参限制，挑选合适的主变元，揭示它与其他变元的函数关系，也就是转换函数关系，切入问题的本质，从而解决原问题；更多的是所给的数学问题根本不是函数问题，条件或结论与函数毫不相关，此时也可通过类比、联想、抽象、概括等手段，构造出某些函数关系，在此基础上利用函数的思想和方法使原问题获解，函数思想在解题中的应用主要表现在如下两个方面：

(1)借助于初等函数的性质：单调性、奇偶性、周期性解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题.

(2)在问题研究中通过建立函数关系或构造中间函数，其中构造函数关系进而利用函数思想解题是更高层次的体现.构造时，要审时度势，充分发掘原题中可类比、联想的因素，促进思维迁移，一旦构造成功，把研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的.

例1　当x∈[-2,1]时，不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是(　　).

解题策略　不等式在某个范围内恒成立求参数的取值范围问题，一般通过参变分离转化为求函数的最值.若所得的函数是高次函数或分式函数，则可运用导数法求最值，并注意端点值的情况.

解：当x=0时，ax3-x2+4x+3≥0变为3≥0恒成立，即a∈R.

当x∈(0，1]时，

设

在(0，1]上递增，f(x)max=f(1)=-6，∴a≥-6.

当x∈[-2，0)时，

假设

当x∈[-2，-1)时，f′(x)<0，当x∈(-1,0)时，f′(x)>0.

∴当x=-1时，f(x)有极小值，即为最小值，而

∴a≤-2.

综上知-6≤a≤-2，故选C.

例2　关于x的方程9x+(4+a)3x+4=0恒有解，求a的取值范围.

解题策略　本例是含参数方程恒有解的问题，从方程角度不易入手求解，可转化为函数问题，转化的角度不同，得到的解法也有差异.

解法一　设3x=t，则t>0，原方程有解即方程t2+(4+a)t+4=0有正根，且由x1x2=4知，两根都为正.

即解得a≤-8.

解法二　设f(t)=t2+(4+a)t+4(t>0).

(1)当Δ=0时，即(4+a)2-16=0，解得a=0或a=-8.

经验证a=-8满足题意.

(2)当Δ>0，即a<-8或a>0时，∵f(0)=4.只需对称轴即a<-4.(www.xing528.com)

∴a<-8.

综上可得a≤-8.

解法三　易得在(0，2]内单调递增,在(2，+∞)内单调递减，故

例3　求方程的解.

是超越方程，此类方程在初等数学中没有一般解法，通过构造函数f(x)=x2+2x+2-x，然后从函数性质的研究中得出结论才是本题解法的巧妙之处.

解：显然x=1是方程的一个根，记f(x)=x2+2x+2-x，易证f(x)是偶函数.

下面探讨f(x)在(0，+∞)上的单调性，考察在(0，+∞)上(除去x=1外)是否还有其他解.

因为g(x)=x2在(0，+∞)上是增函数，只需考察h(x)=2x+2-x在(0，+∞)上是否是增函数.

任取x1，x2∈(0，+∞)，且x2>x1，则

因为x1+x2>0，所以2x1+x2>20=1，由此得

又x2>x1，所以2x2>2x1，即2x2-2x1>0，所以h(x2)-h(x1)>0.

即h(x2)>h(x1)，因此h(x)在(0，+∞)上为增函数.

故f(x)=g(x)+h(x)在(0，+∞)上为增函数，而所以在(0，+∞)上只有一解x=1.

又f(x)为偶函数，f(x)在(-∞，0)上只有一解x=-1.

所以原方程的解集为{-1，1}.

例4　已知并且(4tanα+cotβ)3+tan3α+5tanα+cotβ=0，求证：5tanα+cotβ=0.

解题策略　本例是条件三角恒等式的证明，若通过由条件推结论的方法采用三角恒等变形是困难的，分析条件与结论的结构特征，构造出代数函数，利用代数函数的性质来证明.则可轻松解决.

证明　把已知等式改写为(4tanα+cotβ)3+(4tanα+cotβ)=-(tan3α+tanα).

因此，若设f(x)=x3+x，x1=4tanα+cotβ，x2=tanα，则f(x1)=-f(x2).

∵f(x)=x3+x是奇函数，又是递增函数.

∴x1=-x2，即x1+x2=0，亦即(4tanα+cotβ)+tanα=0.

∴5tanα+cotβ=0.