函数与方程的思想与方法探究

在众多的数学思想中，放在首位的、最为突出的是函数与方程的思想.“高考把函数与方程的思想作为思想方法的重点来考查，使用选择题和填空题考查函数与方程思想的基本运算，而在解答题中，则从更深的层次在知识网络的交汇处，从思想方法与相关能力相综合的角度进行深入考查.”

什么是函数与方程的思想呢？

渗透于高中数学的函数与方程思想有以下3个含义：

(1)函数思想；

(2)方程思想；

(3)函数与方程相互转化思想.

所谓函数思想就是运用运动变化的观点分析和研究具体问题中的数量关系，剔除问题中的非数学因素，抽象其数学特征，用函数的形式把这种数学关系表示出来，并加以研究，运用函数的性质使问题获得解决的思想.函数思想也是一种解题观念，其运用范围不局限于函数问题，它是有广泛的联系性与渗透性，常迁移到不等式、三角、数列、复数以及解析几何和立体几何等方面，运用函数思想解题，常可收到化难为易，化繁为简，化隐为显，甚至妙不胜收之功效，作用之强大难以想象！函数思想的建立是数学从常量数学转入变量数学的枢纽，使数学能有效地揭示事物运动变化的规律以及事物之间的相互联系.所谓方程思想就是突出研究已知量与未知量之间的等量关系，通过设未知数、列方程或方程组，解方程或方程组等步骤，达到求出未知量的解题思路和策略，它是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础.当然方程思想不仅限于此，如在解决问题时，可以把函数中数量间的制约关系看作方程.运用方程理论架设由已知探索未知的桥梁.方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系.

函数思想与方程思想是一个整体，运用函数与方程的思想方法解题，实质是对所给的数学问题从不同的角度加以审视，看看此数学问题的解决与函数或方程是否有关联，若有关联，就可用函数与方程的有关性质求解.函数的性质，除了通常讲的奇偶性、周期性、单调性、最值四大性质之外，还可拓展到有界性、函数图像的凹凸性、函数的零点以及图像对称的特点等，方程的性质通常指解方程或解方程组过程中所运用的一整套理论，主要有消元法、判别式、韦达定理等，而零点正是沟通两者的主要概念.(www.xing528.com)

当然，一般所给出的数学问题从表面上看是非函数或非方程问题，这就要求我们对问题进行一些转化或显化，使问题中函数与方程的特征变得明显，或实施某种构造，即把一个不是函数的问题根据要解决的问题的特征及求解的目标，构造一个函数或看作一个方程，这便是构造函数与方程的解题思路，有着相当广泛的应用.

巴甫洛夫有一句名言：“科学是以依赖于方法的进步程度为前提的.”这句话并不假，方法每前进一步，和每上一个台阶一样，它会为我们展开更为广阔的视野，因而看到前所未有的现象.

从某种意义上讲，学习数学就是掌握数学思想方法，一旦学会运用思想方法解题，会使你的数学学习事半功倍，亦使你的灵性得到开发，深入数学的精髓.

比如数列本身就是特殊的函数，它定义在自然数集或其有限子集上，具有函数相同的某些性质，如单调性、周期性、有界性、最值等，通项公式和前n项和的公式可视为关于n的函数，也可视为某一元素的方程，运用函数与方程的观点求解数列问题有用且有效.

又比如解析几何中的直线与圆锥曲线方程都是二元方程f(x，y)=0.可理解为隐函数(当然函数解析式与曲线的方程在定义上是有差异的)，那么解析几何也处处运用函数思想，解析几何中的“参数法”的实质是复合函数思想的体现，而解析几何中有关直线与圆锥曲线的位置关系的探究，方程思想发挥着决定性作用.

运用函数与方程思想还可以解三角问题、立体几何问题等，统而言之，函数与方程思想是贯穿中学数学内容的一根红线.