构建解析几何模型：以结构思维巧解题

解析几何的实质是从代数的方向求解几何问题,是将数学问题所呈现的几何特征代数化,如果所给的数学问题从表层看与解析几何毫不相关,则可挖掘题中隐藏的结构特点,通过构造解析几何模型,运用距离公式、斜率公式，点到直线距离公式，直线方程的各种形式以及圆锥曲线方程等巧妙地解决许多数学问题.

当然最为重要的是如何对原型加以分析，产生联想，构造出解析几何模型，并通过求解解析几何模型得到原题的解.

模型法解题必须紧紧抓住以下3点：

(1)构造的数学模型要保证能反映出原命题的本质特征；

(2)构造的数学模型既能进行理性分析，又要能进行计算和逻辑推理；

(3)解答构造的数学模型所获得的结果，一定是原命题的解题目标，并经过检验，对于不符合原命题解题目标的结果应予以舍弃.

例1　(1)试求函数的最大值；

(2)设θ为锐角，试比较与tanθ的大小.

解题策略　第(1)问，除常规解法外还可以构造几何图形，利用斜率求三角函数最值；第(2)问，可以用作差比较法求解，但涉及三角恒等变形，运算量较大，若能注意到两个表达式都与直线的斜率相关，则可应用斜率的几何意义，通过构造图形求解，这样就简捷多了.

解：(1)设点A(cos2α-sinα，sin2α+sinα)，点B(3，-1)，则y表示A，B两点连线的斜率.

点A的轨迹方程为

即x+y=1.

由于所以有

图2-2

图2-3

故点A的轨迹为线段如图2-2所示.

因为所以所以

(2)令

其几何意义是单位圆x2+y2=1(x>0，y>0)上

动点与点(1,1)连线的斜率.

又令

其几何意义是单位圆x2+y2=1(x>0，y>0)上动点与原点连线的斜率，如图2-3所示.

从图形中易得

❶ 当时，0<k2<1<k1，即

❷ 当时，k1=k2=1，即

❸ 当时，0<k1<1<k2，即

例2　(1)求的最小值；

(2)如果函数在区间上单调递减，那么mn的最大值为(　　).

解题策略　第(1)问，观察可知，原问题可转化为求两点间的最短距离的平方.第(2)问，初看是二次型函数的单调性问题，由于解析式含双参数，单从函数角度求解是困难的，必须通过对函数图像的讨论得到关于m,n的不等式组，或通过导函数f′(x)≤0在上恒成立求得约束条件，求mn的最大值转化为线性规划问题，由动直线与曲线相切或由基本不等式求得.

图2-4

解：(1)观察可知，原问题可以转化为求两点之间的最短距离的平方.

而这两个动点的参数方程依次是

和消去m,n得x2+y2=4(y≥0)和xy=9.

从而问题进一步转化为求半圆x2+y2=4(y≥0)和双曲线xy=9上的点之间的最短距离的平方，如图2-4所示.

易得

图2-5

(2)解法一　若m=2，则f(x)=(n-8)x+1在上单调递减，有0≤n≤8;(https://www.xing528.com)

若m>2,则+1为开口向上的二次函数，对称轴为有

若0≤m<2，则为开口向下的二次函数，对称轴为有

将以上三种情况所得不等式整理即m,n需要满足的约束条件：

或或作出可行域如图2-5所示的阴影部分，令k=mn,则表示一簇反比例函数的图像，由计算可知，当反比例函数与直线2m+n-12=0相切时，k最大，此时切点为(3,6)，k的最大值为18，故选B.

解法二　由题意得f′(x)=(m-2)x+(n-8)≤0对任意的恒成立，∴只需即又m≥0,n≥0,则0≤n≤12-2m,

mn≤m(12-2m).

设当且仅当m=6-m,m=3,n=6时，等号成立.经检验满足上述条件.

故mn的最大值为18,故选B.

例3　(1)求二元函数的最小值；

(2)已知求|3x-4y-100|的最值.

解题策略　第(1)问，观察二元函数解析式的结构特点，很像两点之间距离公式的平方，由此可试着构造图形，利用解析几何知识求解，若把二元函数看作关于x的二次函数，y为参数，则可利用二次函数极值法求解.第(2)问，所给条件等式为动点P(x，y)到两定点A(0，0)，B(8，6)的距离之和为定长20.由于|AB|=10<20，则点P的轨迹为椭圆.而3x-4y-100=0是一条确定的直线，问题就转化为椭圆上动点到定直线距离的最值.本题的几何意义是求出与长轴所在直线3x-4y=0平行且与椭圆相切的两条直线它们与直线3x-4y-100=0的距离即为所求的最值.

图2-6

解：(1)解法一　(构造法)由二元函数结构特点，可将函数关系看成是点P(x，-x-1)和点的距离，而点P(x，-x-1)的轨迹是直线x+y+1=0，点的轨迹是双曲线xy=1，所以问题就转化为直线x+y+1=0上的点和双曲线xy=1上的点的距离平方的最小值.

如图2-6所示，AB连线过原点且与直线x+y+1=0垂直时，其交点C到点B最近，此时，A、B、C3点的坐标是即F(x，y)的最小值是

解法二　(二次函数极值法)首先把原函数看成关于x的二次函数

顶点在

所以即F(x,y)的最小值是

(2)设P(x，y)，A(0，0)，B(8，6)，|AB|=10,则2a=20,2c=10.即为中心在(4，3)，焦点在直线上的椭圆.其方程为

设与直线平行的直线方程为要使椭圆与直线有公共点的m的取值范围是原点到直线的距离不超过(即b的值)即

解得椭圆上任意点P(x，y)均满足

由得

故|3x-4y-100|的最大值为最小值为

例4　在平面直角坐标系xOy中，设定点A(a，a)，P是函数图像上一动点，若点P，A之间的最短距离为则满足条件的实数a的所有值为________.

解题策略　从题目提供的信息：P是函数图像上一动点，A(a，a)为定点，构思解题方法可以朝函数方向靠拢，也可以朝解析几何方向靠拢，于是就有了两种不同的构造方法.

思考一　(函数方向)PA的长度可用和(a，a)两点之间的距离表示，势必会出现的形式，通过换元求解新元t的取值范围，将题目转化为在新元的范围内对二次函数分类讨论求最值，从而确定a的取值.

思考二　(解析几何方向)为动点，A为定点，不难发现P的轨迹是以(a，a)为圆心，半径为的圆，则原问题就转化为圆(x-a)2+(y-a)2=8与曲线相切的问题，联立消y之后可利用方程根的判别式解决.

解法一　设则

令得t≥2，=t2-2at+2a2-2=(t-a)2+a2-2.

当a<2时，

当a≥2时，

解得a=-1或

解法二　由题意可知，若a<0，则a=-1满足题意；

若a>0，则圆(x-a)2+(y-a)2=8与相切，

联立方程组，消去y得

即　①

令Δ=0，得(2a)2-4(2a2-10)=0，解得

此时方程①的解为满足题意.

综上，实数a的所有值为