孩子们的数学学习：引导讨论和常见错误的挑战

兰珀特和鲍尔都强调了教师在计划和实施数学教学时其学科知识和教学法知识的重要性。同样重要的是教师把学生理解为学习者。认知导向教学的概念帮助教师说明有效数学教学的另一个重要特点：教师不仅要有数学领域特定内容的知识和学生怎样看待这一特定内容的知识，还要有班级里的个别孩子怎样看待这一特定内容的知识（Carpenter and Fennema，1992；Carpenter et al.，1996；Fennema et al.，1996）。有人认为，老师用他们的知识做出恰当的教学决策有助于学生建构数学知识。以这种方法，教学领域的知识（Shulman，1986）扩展到了教师对课堂上每个学习者的了解。

安妮·基思（Annie Keith）用认知导向的教学方法，她教威斯康星州麦迪逊小学一二年级复式班（Hiebert et al.，1997）。她的教学实践证明教师理解学生的思维并用这种理解进行教学的可能性。基思女士的课堂教学画面揭示出她的数学学科知识和教学法知识是如何影响她的教学决策的。

应用题几乎构成了安妮·基思的教学基础。学生花很长时间相互之间、或以小组形式或全班形式讨论可选择的策略。老师常常参与这种讨论但几乎从不向学生演示问题的结论。数学的一些重要的概念在学生探索问题答案的过程中建立起来了，而不是把他们作为教学本身的焦点。比如，数的位值的概念是在学生们使用以10为单位的材料，如以10为单位的积木以及算盘的过程中建立起来的，用以解决多位数应用题。

在安妮·基思的班上，数学课在不同的环境中进行。每天的一年级活动和二年级活动，像分快餐、午餐统计、出勤，都是作为经常性的问题解决性任务情景来进行的。学生们经常到数学中心上数学课，在那里学生们可以开展各种活动。在任何指定的时间里，孩子们在这个中心可能解决老师提出的应用题，而在另一个中心，孩子写下应用题并拿到班上展示或用于做数学游戏。(www.xing528.com)

她不断地挑战学生，要他们思考并试着对他们所做的活动赋予数学意义。她把这些活动当作她了解每个学生怎样看待和理解数学的机会。当学生们组成小组解决问题的时候，她观察学生们的不同结论（答案）并在心里记下哪个学生应该在全班公布他的结果：要把各种各样的结论都展示出来，这样学生们有机会互相学习。她的那些有关数学的重要概念的知识为她提供了选择过程的框架，但是她对孩子们怎样思考数学概念的理解也影响她决定谁应该向全班展示。她可能挑选一个实际上错误的答案，这样她可以发起一次有关常见错误概念的讨论。或者，她可以选择一种比较复杂的答案向学生们展示这种策略的好处。无论是答案的展示还是随后全班的讨论都为她提供了这样的信息：即她的学生们已经掌握了什么，下一步她应该用什么样的问题进行教学。

安妮·基思有强烈的信念，认为孩子们需要在他们已有的知识基础上建构对数学概念的理解，这一点引导着她的教学决策。她对学生的理解提出假设，然后以这些假设为基础选择恰当的活动。当她收集到更多的有关学生的信息并把这和她要求学生学习的数学比较之后，她会修正教学。她的教学决策显示她对每个学生目前理解状态的清楚的诊断（判断）。她的方法并不是一场没有老师引导的混战：而是一场基于学生的理解水平又由教师精心指挥的教学，老师知道什么是重要的数学问题，什么对学习者的进步来说更重要。