深入理解负数：整数之间的关系与重要性

帮助三年级学生扩展对数的理解，从自然数到整数，是另一位教师研究者所做的富有挑战性的工作。德博拉·鲍尔（Deborah Ball）的工作为我们提供了又一个运用广泛的学科知识和教学法知识进行教学的精彩片段。她的教学目标是（包括）“开发一种实践使数学学科知识和儿童作为思想家整合在一起”（Ball，1993）。也就是说，她不仅考虑什么是重要的数学观念，还考虑儿童是如何思考她所要教的特定数学领域的。她把作为数学单位的整数（学科知识），以及她那丰厚的教学法知识运用到整数教学中。像兰珀特一样，鲍尔的目标超越了典型的数学教学的界线，发展成一种文化，学生们可以在这种文化中猜想、实验、建立论据、形成并解决问题——实际上是数学家所从事的工作。

德博拉·鲍尔对她的工作的描述强调了构想出有效途径把数学的关键概念呈现给儿童的重要性和困难（参见Ball，1993）。有关负数的可能例子很多，她复习了其中的一些——魔术花生、钱、游戏打分、一条数字线上的青蛙、楼层的上方和下方等等。她决定先用楼层例子，后用钱的例子：她非常清楚每一种例子在表达数字的关键特征，特别是数量和方向时的优势和局限。阅读德博拉·鲍尔深思熟虑的描述，你会感到震惊，惊叹她为了特定的数学观点和过程而选择的恰当例子时的复杂性。她希望用楼层例子的位置特征帮助学生辨认出负数不等于零，而这是一个常识性的错误。她也意识到楼层例子楼层模型很难用于负数的减法。

德博拉·鲍尔和学生们一起，用楼层例子把楼层贴上标签，学生已经给地下楼层贴上标签而且把这些楼层看作是“零下”。他们于是探讨当小纸人从某一层进入电梯然后去到另一层时会发生什么。以这种方法来介绍规范的加法和减法算式的写法，涉及整数4-6=-2和-2+5=3。接下来学生遇到的问题越来越难。比如，“一个人要到2楼有多少种走法？”用楼层例子允许学生做大量的观察，比如，有个学生注意到：“任何零以下的数加上零以上的同一个数等于零”（Ball，1993：381）。但是楼层例子不能解决5+（-6）这样的问题，鲍尔想到学生还不理解-5比-2小——虽然-2在-5之下，但并不意味着-2就小。鲍尔于是用钱的例子并且指出这同样存在局限性。(www.xing528.com)

很显然，德博拉·鲍尔的整数可能性表述的知识（教学法知识），以及她对整数的重要数学性质的理解是她设计与教学的基础。她的目标与培养学生的权威再度联系起来，共同体的意义也得到体现。像兰珀特一样，鲍尔要求她的学生承担起决定结论合理性和正确性的责任，而不是依赖课本或老师的确认。