残余应力变形感知预测模型的优化解析

为保证装夹的稳定性，数控加工中工件多采用超静定装夹方式。装夹系统中除了维持几何不变的必需约束外还存在一些多余约束。定义装夹系统维持几何不变的必需约束与工件组成的结构为装夹系统的静定基。静定基可以有不同的选择，并不是唯一的。薄壁零件装夹系统的多余约束多为辅助支撑，用以提高系统的刚性，减小加工过程中机械载荷造成的振动以及变形。

在超静定装夹系统中，根据弹性力学相关理论，应用变形叠加原理和变形协调方程可以实现对残余应力变形感知预测模型的求解，求解公式为

式中：DM为零件上各变形势能感知点装夹释放后的残余应力变形；δ为零件上各感知点在任一单位装夹力作用下的变形。此式表明，工件装夹卸载后的残余应力变形等于装夹力变化值的反力单独作用在工件上引起的变形。

以平板装夹系统为例来进行一次超静定装夹系统的残余应力变形感知预测模型的求解。图6.9（a）所示为一个三维的窄板单面铣削装夹系统，工件为平板，一端采用压板或者螺栓固支，一端采用辅助支撑简支。辅助支撑上安装有压力传感器用以监测支撑力的变化。装夹结构中存在一个多余约束，它是一次超静定装夹系统。

图6.9　一次超静定装夹系统分析

（a）一次超静定装夹系统（b）二维简化受力状态

铣削加工过程中刀具切削材料在工件上表层引入残余压应力，使工件发生上凸变形。将工件简化为梁，则装夹系统可简化为简支梁结构，其载荷作用情况如图6.9（b）所示。加工过程在工件中引入残余压应力，残余压应力对平板变形产生的作用可以用施加在平板一端的力矩M进行等效。若不存在多余约束B，则工件即时发生弯曲变形。由于多余约束B对工件作用多余约束力ΔF，工件在装夹状态下未发生变形。残余应力引入的能量以变形势能的形式存储在工件中。解除多余约束B，以多余约束力ΔF1代替。多余约束力ΔF1即为压力传感器感知到的支撑力变化值。在ΔF1与M的共同作用下，工件B端支撑点沿F1方向产生位移，定义为D1。可以认为D1由两部分组成：一部分是静定基在残余应力等效力矩M单独作用下产生的D1M，另一部分是静定基在多余约束力ΔF1作用下产生的位移D1F，即

式中：位移记号的第一个下标1代表位移发生在B端F1作用点且沿F1的方向。

由于辅助支撑B的存在，B端不发生位移，因此有

在计算D1F时，可以在静定基上沿F方向施加单位力，B点沿F1方向因单位力作用产生的位移记为δ11。对于线弹性结构，位移与力的大小成正比，故D1F为δ11的ΔF1倍，代入公式（6.15），可得

式（6.16）左边为多余约束释放后工件的残余应力引起的变形，右边为支撑力变化反力在静定基上引起的变形。式中ΔF1可通过装夹力监测的方式获得，δ11可通过理论推导或者仿真的方式获得。这样就建立起了感知量目标矩阵与感知量矩阵之间的映射关系，实现了一次超静定装夹系统残余应力变形感知预测模型的求解。

将上述方法推广到二次超静定装夹系统。图6.10所示的超静定装夹结构存在两个多余约束B和C，铣削完成后对其进行受力分析，加工过程引入的残余应力作用以等效力矩代替，多余约束产生两个约束反力。同样解除多余约束B和C，以多余约束力ΔF1和ΔF2代替，那么在多余约束B和C位置的变形协调方程便可以表示为

图6.10　二次超静定装夹系统分析(www.xing528.com)

装夹去除后的残余应力变形即为

从上述求解过程可以看到，残余应力场作用下的变形协调方程的推导未涉及零件结构，因此进一步地将上述方法推广到n次超静定装夹系统残余应力变形感知的求解，如图6.11所示，则在不同的感知点有以下变形协调方程组：

式中：ΔFi代表各多余约束上约束力的变化值；δij代表静定结构在ΔFj=1单独作用时沿Fi方向的位移；DiM代表静定基结构在残余应力单独作用下，沿Fi方向的位移。

图6.11　n次超静定装夹系统

由位移互等定理，力ΔFi在Fj作用点沿Fj方向引起的位移等于力ΔFj在Fi作用点沿Fi方向引起的位移，即上述方程组中的系数存在以下关系：

应用该公式可简化方程组系数的求解，系数求解可采用理论推导或者仿真的方式进行。

从上述求解过程中可以看出，基于装夹力监测的残余应力变形感知预测方法能够准确获得感知点的残余应力变形数值，但是对非感知点的评估需要通过位移场拟合的方式获取。这就意味着，对感知距离较远的点的残余应力变形的预测效果存在一定的不确定性，因此需要合理规划感知点的分布，对精度要求高、变形刚度小的区域全面感知，确保变形不超差。

结合上述提出的感知模型、模型求解方法以及感知过程的讨论，残余应力变形的感知预测实现步骤如下。

（1）感知点选取。通过仿真或者理论分析的方法，预估工件可能的变形状态。此时可简化工件结构、残余应力分布等，大致预估变形趋势即可，在变形较大的部位施加感知点。

（2）装夹方案设计。多余约束为点接触时，感知点的残余应力变形可进行准确求解，因此在进行装夹设计时，在保证装夹稳定的同时，尽量采用点装夹形式作为多余约束，将夹紧力传感器安装于其上；若必须采用面装夹形式，则应尽量缩小装夹面面积，近似求解变形值。

（3）加工感知。装夹工件，按照给定工况完成工件的加工。在感知时间点记录装夹力的数值。

（4）变形求解。建立工件装夹系统静定基的有限元模型，在感知位置施加装夹力变化值的反力，得到工件的变形状态。此时的变形状态即为工件装夹卸载后的残余应力变形值。