铣削加工颤振稳定性预测的优化方案

5.3.2.1　颤振稳定性的高效全离散预测方法

铣削加工过程中，系统的状态方程可以表示为

式中：A为恒定矩阵；B（t）是满足B（t）=B（t+τ）的时间周期矩阵；τ为时间延迟；x（t）代表刀具和工件之间的相对位移。

为求解状态方程（5.18），可对状态方程右侧的B（t）x（t）和B（t）x（t-τ）项进行近似，而左边的导数项保持不变。这个时滞微分方程可以由一系列常微分方程表示。首先，将时间周期项分割为m个时间段，每一个时间段的间隔为Δt，Δt=τ/m对于第j个时间间隔［tj，tj+1］，常微分方程可以表示为

其中，tj=jΔt，j=1，2，…，m。x（t）在时间tj和tj+1处的导数为

从式（5.20）可以很明显地得到，在每个时间间隔内，和）可以准确地用A、B（tj）、B（tj+1）和一些离散的状态值表示。利用状态项和状态项的导数，在时间段［tj，tj+1］内，x（t）使用埃尔米特插值表示为

其中，xj表示x（jΔt），且有

时滞项x（t-τ）在时间段［tj，tj+1］内可以通过xj-m、xj-m+1、xj-m+2进行二次插值，表示为

其中，

在时间段［tj，tj+1］内，可以通过Bj和Bj+1利用线性插值表示为

然后，在时间段［tj，tj+1］内，求解方程式（5.19），得到

式中：Qj、Hj、Hj-m、Hj-m+1、Hj-m+2为系数矩阵，其与时间周期矩阵Bj和Bj+1相关，表达式分别为

以上各式中：I代表单位矩阵；d1和d2为恒定矩阵。系数矩阵d1、d2、s1、s2、e1、e2和fi、f2、g1、g2可以分别表示为

其中，

根据式（5.26），定义一个2（m+1）维的离散系统：

其中，Zj=［yj　yj1　yj-2　　…　yj-m］T。

很明显，如果矩阵Q是非奇异矩阵，那么Dj可以表示为

传递矩阵可以通过如下公式得到：

可以通过判断传递矩阵Φ的特征值的模是否小于1来判断系统的稳定性，如果传递矩阵Φ的特征值的模大于1，则系统是不稳定的，否则，系统是稳定的。

5.3.2.2　环形机匣端铣颤振稳定性快速预测

在航空复杂零件的加工中，所用刀具一般较为复杂，颤振稳定性预测也有其特征。如在航空发动机的环形机匣、压气机叶片加工中，普遍采用环形铣刀，主要是刀具环形刃口部分参与切削。以环形机匣为例，机匣外型面的半精、精加工过程可以简化为环形刀定轴铣削圆环面的实际工况，如图5.6所示。(www.xing528.com)

图5.6　机匣铣削过程动力学模型

在机匣外型面铣削过程中，切削力作用于工件表面并引起动态位移，而前后两个刀齿切削对应的动态位移又形成了动态切屑厚度：

其中，

根据Altintas和Budak提出的三维颤振稳定性模型，加工过程中作用在刀具上的动态切削力可以表示为如下时域形式：

式中：Fx（t）、Fy（t）、Fz（t）分别为刀具在x、y、z方向上的切削力；Δx（t）、Δy（t）、Δz（t）分别为刀具在x、y、z方向上的动态位移；A1为刀具的定向切削系数矩阵。

根据刀具与工件之间交互作用的传递函数，动态位移可以表示为如下频域形式：

式中：ωc为颤振频率；T为刀齿通过周期；G为刀具与工件之间的传递函数，G=Gc+Gw。加工过程中作用在刀具上的动态切削力可以表示为如下频域形式：

此时，工艺系统的颤振稳定性预测问题转变为特征值求解问题。式（5.35）和式（5.36）分别表示特征方程和特征值：

因此，可以得到铣削加工时的极限稳定切深和主轴转速：

式中：Im（λ）表示取λ的虚部；Re（λ）表示取λ的实部；k为叶瓣序号。

机匣外型面的半精、精加工过程中，工件的回转和刀具的旋转分别实现了进给运动与材料切削。为了避免刀具底刃切削材料，通常采用多轴方式进行加工。一般在采用环形刀加工时，前倾角度越小，切削行宽越大，材料切除率也就越大；并且机匣外型面具有较好的开敞性，较小的前倾角度即可满足走刀轨迹的刀轴方向要求。机匣的环形、薄壁结构特征使得工件子系统的主模态沿着工件表面法向，即该方向为主振方向。当选用较小的前倾角度时，可以假设工件的主振方向和刀具轴向即z向一致。此时，若忽略刀具横向即x向和y向上的动态位移，便可得到一维的颤振稳定性模型，则前述机匣铣削加工颤振稳定性问题可以简化为

其中，

式中：az为刀具轴向切深；kz为工件z向刚度；ξz为工件z向阻尼比；ωn为工件固有频率。

当机匣外型面铣削过程中的前倾角度为零时，刀具轴向切深az与工件加工余量a相等。但在机匣外型面多轴铣削时，会存在较小的前倾角度，此时刀具轴向切深az与工件加工余量a之间具有如下关系：

此时，式（5.39）可以变为

由于刀具与工件都具有复杂的几何结构，因此两者之间的啮合界面也十分复杂。切削力系数、接触角等沿刀具轴向是在不断变化的。因此，可以采用一种基于微元切片的多轴铣削颤振稳定性预测方法。如图5.7所示，对于每个微元切片，其厚度表示为Δaz。将各个刀具轴向微元切片上m个轴向微元切片动态切削力进行叠加，可以得到作用在整个刀具上的动态切削力：

图5.7　刀具微元切片及其几何关系

因此，可以得到刀具轴向微元切片厚度Δa对应的稳定性极限和主轴转速：

由于在颤振稳定性分析中有m个刀具轴向微元切片，因此整个刀具的稳定性极限为