进给速度优化的数学模型及方法

4.5.1.1　优化问题的目标函数

铣削粗加工过程以加工效率作为优化目标，对工艺参数进行优化。在真实的零件加工生产过程中，单个零件的加工生产时间包括准备时间、装卸时间、调节时间、加工时间、换刀时间。因此，单个零件的加工生产时间的表达式为

式中：T是单个零件的加工生产时间；Tp是单个零件的准备时间；TL是零件加工的装卸时间；Ta是零件加工的调节时间；Tm是单个零件的切削加工时间；Tc是单个零件加工中总的换刀时间。

单个零件的准备时间是指加工的工艺准备时间，是由将一批零件的工艺准备时间均摊到每个零件上得到的，其表达式为

式中：Ts是一批零件总的生产准备时间；Nb是该批次零件的数量。

单个零件加工中总的换刀时间是指加工过程中多次换刀所消耗的总时间，其表达式为

式中：Tc是单次更换刀具所消耗的时间；Tm是单个零件的切削加工时间；Tl是刀具单次磨钝所使用的切削时间。

在单个零件的加工生产时间中，单个零件的准备时间是加工的工艺准备时间，与加工过程参数无关；零件加工的装卸时间、调节时间是加工现场装夹及调整所消耗的时间，与加工过程参数无关；单个零件的切削加工时间是依赖于总的刀位轨迹长度和进给速度的，即与加工过程参数相关；单个零件加工中总的换刀时间与加工中切削加工时间和刀具磨钝时间相关，亦即与加工过程参数相关。

最大生产效率是指单位时间内生产零件的最大数量，或生产单个零件花费的最少时间。在单个零件的加工生产时间中，只有单个零件的切削加工时间和单个零件加工中总的换刀时间与切削参数相关。而单个零件加工中，总的换刀时间中的单个零件的切削加工时间和刀具单次磨钝所使用的切削时间都与切削参数相关。在一定的进给速度范围内，进给速度对单个零件的切削加工时间的影响要远远大于对刀具单次磨钝所使用的切削时间的影响。因此，切削加工过程中加工效率直接受到单个零件的切削加工时间的影响，在切削参数优化过程中，应该以单个零件的切削加工时间最小为具体目标。

在铣削加工过程中，当进给速度为恒定值时，单个零件的切削加工时间可以表示为

式中：Lt是单个零件加工的刀位轨迹总长度；f是恒定的进给速度。

当进给速度随着加工过程的进行发生变化时，单个零件的切削加工时间可以表示为

式中：L是加工到零件上任意一点的刀位轨迹长度；f（L）是加工零件上任意一点时的进给速度。

因此，该优化问题的目标函数为

零件加工的刀位轨迹已经在加工开始之前通过CAM过程确定，在加工过程中不能改变，刀位轨迹的形式及总长度不能调整。因此，在线铣削参数优化求解与反馈控制只能通过实时调整加工中的进给速度来实现，即该优化问题中的优化变量为进给速度。

4.5.1.2　优化问题的约束准则

1.铣削力约束

加工过程中，铣削力是随着铣刀的旋转而出现周期性波动的。因此，在加工过程优化的研究中，通常将刀具所受力的峰值或者平均值作为研究对象，以铣削力恒定或者小于给定值为限制条件，对加工过程参数进行优化。由于工况的时变性，在真实的零件加工过程中铣削力随着加工刀位轨迹的行进而变化。因此以铣削过程中刀具所受径向铣削力平均值的合力作为考量标准，在整个铣削加工过程中，刀具所受的径向铣削力平均值的合力不能超过给定的平均铣削力的限定值。将其表示为约束方程的形式，即

2.刀具磨损速率约束

在铣削加工中，刀具单次磨钝所使用的切削时间T1必须大于一定时间极限，以避免频繁换刀导致生产效率降低，同时也限制刀具成本的增加。刀具的使用寿命与切削参数、被加工零件、刀具材料等工况因素相关，即刀具的磨损速率与工况因素相关。在真实的零件加工过程中，工况因素是变化的。某一时刻的工况决定了这一时刻的刀具磨损速率，从而影响着刀具的单次使用寿命。因此，只能以某一时刻的刀具磨损速率为限制条件。限制了某一时刻刀具磨损速率，即可保证刀具的单次使用寿命。刀具磨损速率的约束方程为(www.xing528.com)

3.其他约束

除了铣削力约束和刀具磨损速率约束外，工艺参数优化问题还受到其他诸多因素的约束。

1）进给速度

加工过程中的进给速度与机床进给轴的性能直接相关，受到机床最大进给速度的限制。因此，进给速度需要满足加工系统的限制要求：

式中：flim是加工系统对进给速度的限定值。

2）加工系统受力

加工过程中的铣削力不仅受到刀具性能的限制，还受到加工系统自身所能承受的最大铣削力的限制。这里从加工系统性能的角度考虑，对加工系统所受铣削力的最大峰值进行限制，避免铣削力过大对加工系统造成损伤。

式中：Fmax（f）是加工系统所受铣削力的最大峰值；Fmtlim是加工系统所能承受的最大铣削力值。

3）铣削扭矩

机床主轴的输出扭矩与铣削过程中的工艺参数直接相关，其大小受到机床最大主轴扭矩的限制。因此，铣削过程中的主轴扭矩数值需要满足机床最大主轴扭矩的限制要求。

式中：M（f）是铣削过程中主轴的瞬时输出扭矩；Mlim是机床最大主轴扭矩限制值。

4）铣削功率

铣削过程中的工艺参数直接影响机床的输出功率，而机床的输出功率要受到机床最大输出功率的限制。因此，铣削过程中的机床输出功率数值需要满足机床最大输出功率的限制要求。

式中：P（f）是铣削过程中机床的瞬时输出功率；Plim是机床最大输出功率限制值。

5）切削速度

铣削过程中的切削速度与主轴转速及刀具直径直接相关，其大小受到机床最大主轴转速的限制。因此，切削速度数值需要满足加工系统对切削速度的限制要求。

式中：vc（f）是瞬时切削速度；vclim是加工系统对切削速度的限定值。

4.5.1.3　优化问题的数学模型

根据已经分析得到的优化问题目标函数及约束条件，可以得到该优化问题的数学模型，其表达式为