变形映射方法的优化探究

变形映射是指从一个物体（源物体）到另一个物体（目标物体）的连续、光滑、自然的过渡。这里的物体可以是数字图像、多边形、多面体网格等，也可以是变形几何造型的一种特殊方法［6］。本书将利用变形映射技术进行工序演化模型的建立与表达。

2.3.1.1　源物体与目标物体的表征方法

在变形映射技术中，源物体与目标物体的形状在变形过程中直接控制着中间变形曲面的形状。因此，源物体与目标物体的表征至关重要。若将变形映射技术应用到过渡曲面族的建立中，则源物体与目标物体有两种表征方法。

第一种表征方法是将源物体用加工前的过渡毛坯表示，目标物体用最终的成品形状表示。当被加工零件和毛坯确定时，其源物体和目标物体的边界曲面即被确定。图2.9（a）所示为叶轮流道在第一种表征方法下源物体与目标物体的示意图。

图2.9　源物体与目标物体的两种表征方法

（a）第一种（b）第二种

第二种表征方法是将源物体用准确曲面边界实体表示，目标物体用自定义的收缩中心实体表示。准确曲面边界实体是指在被切削几何体内部派生出的简化的曲面边界实体或者具有非均匀余量的半精加工表面实体，这样非均匀余量分布就可以单独设计，使得变形过程不受精加工余量分布要求的约束。若在粗加工、半精加工余量范围内对源物体所定义的边界曲面进行连续简化，则可在源物体内定义一个形状简单的收缩中心实体，作为源物体向内收缩变形的目标物体。通过设计目标物体的实体形状和收缩中心位置，可实现对变形过渡的控制。图2.9（b）所示为腔槽零件在第二种表征方法下源物体与目标物体的示意图。

2.3.1.2　三维实体的参数化方法

在数控加工中，变形映射技术是通过对由源物体与目标物体的布尔差所确定的被切削几何体进行三维实体参数化来实现的。为了在被切削体内部生成光滑变化的中间变形曲面，需要对被切削体内部的每一个点的坐标进行描述。空间几何体的坐标描述可以通过一个用三元参数定义的单位体与任意形状的空间几何体的坐标变换获得，这个变换过程称为三维实体内部参数化。

任意形状的三维实体被参数化后，它的内部点可以用一组三元参数来表示，而且中间变形曲面可以通过固定某个方向上的参数为常值来获得，这种变换需要通过网格生成来实现。网格生成是一个确定均匀正交的计算域（u，v，w）与非均匀不正交的物理域（x，y，z）之间映射的坐标变换过程，如图2.10所示，其中F是映射变换函数。

图2.10　计算域与物理域中的映射变换

一般情况下网格生成包含两个基本步骤：第一是确定边界上离散点的分布；第二是确定边界内部点的分布［7］。类似地，三维实体内部参数化需要三个基本步骤：第一是确定被切削几何体及六个边界曲面；第二是参数化被切削几何体的六个边界曲面，确定边界曲面上的离散点；第三是确定被切削几何体内部的空间点。

三维实体参数化方法主要有两种：一种是超限插值（TFI）法，主要应用参数化和插值的方法，利用线性和非线性的、一维或多维的插值公式来生成网格；另一种是偏微分方程（PDE）法，主要用于空间曲面网格的生成，通过求解计算域与物理域之间的一组偏微分方程，将计算域的网格转化到物理域。

1.超限插值法

超限插值由William Gordon［8］在1973年提出，在20世纪80年代初，Eriksson将超限插值应用到流体动力学中生成网格［9］，后又在此基础上进行了改进，发展了多种不同形式的超限插值方法。目前，超限插值仍然是一种广泛被采用的代数网格生成方法，它通过插值处理获得符合指定边界的网格，且网格间距能够被直接控制。

超限插值的网格生成方法是通过确定一个适当的映射，将计算域中均匀分布且正交的计算点（u，v，w）通过映射变换函数映射到物理空间中不均匀分布且非正交的物理点（x，y，z）上，映射变换过程如图2.11所示，映射变换函数可表示为

F是一个向量值函数，F（ui，vj，wk）表示任意一个结构化网格，其中，

式中：i=1，2，3，…，I；j=1，2，3，…，J；k=1，2，3，…，K；I，J，K为网格数量。

图2.11　计算域与物理域中的网格点

在三维实体参数化实现过程中，首先将计算域和物理域中边界曲面进行离散化处理，并使各对应边界曲面具有相同数目的离散网格点，如图2.11所示。然后，计算域中均匀离散的网格点（ui，vj，wk）通过映射变换函数F（u，v，w）变换为物理域中真实存在的网格点（xi，yj，zk），每个相邻网格点之间的映射关系是不变的，都可以通过映射变换函数计算得到。(www.xing528.com)

2.偏微分方程法

偏微分方程法主要有椭圆形方程法、双曲形方程法和抛物形方程法。由于椭圆形方程法能更好地适用于指定物理边界的封闭区域几何实体的网格生成，因此能够很好地应用于三维几何实体内部网格的生成。

在偏微分方程网格生成中，假设物理域中三维实体内部的网格分布是被计算域坐标与物理域坐标之间的一组偏微分方程所确定的，而且满足对边界网格分布的要求，可通过求解这组方程将计算域中的网格转化到物理域［10］。因此，对三维几何实体内部的网格生成来说，其核心问题是：找出计算域中的一点（u，v，w）与物理域中一点（x，y，z）之间的对应关系，如图2.12所示。图中，是边界曲面，l是边界曲线。

图2.12　椭圆形偏微分方程生成网格的问题表述图示

如果把（x，y，z）及（u，v，w）都看成各自独立的变量，则上述问题的表述就是规定了一个边值问题，即已知边界上变量（x，y，z）与变量（u，v，w）之间的对应关系（相当于第一类边界条件，第一类边界是给定边界上待求变量的分布），需要求在计算域内部它们之间的关系。

从物理域上来看，把u，v，w看成物理域上被求解的因变量，这就构成了物理域上的一个边值问题：即已知物理域上与边界点（xB，yB，zB）对应的（uB，vB，wB），需要求出与物理域内部一点（x，y，z）对应的（u，v，w）。这种对应关系在数学上可以用以x，y，z为自变量，u，v，w为因变量的偏微分方程来描述。

从计算域上来看，把x，y，z看成计算域上被求解的因变量，这就构成了计算域上的边值问题：在计算域的矩形边界上规定x（u，v，w）、y（u，v，w）、z（u，v，w）的取值方法，然后通过求解偏微分方程来确定计算域内部各点在物理域对应的（x，y，z）值，即找出与计算平面求解区域内各点对应的物理平面上的坐标。实际上，采用椭圆形偏微分方程时，网格的生成是通过求解计算域上的边值问题来完成的。为此，需要把物理域上以x，y，z为自变量的偏微分方程转换为计算域上以u，v，w为自变量的偏微分方程。

偏微分方程的常用求解步骤如下：

（1）计算控制方程。

（2）计算物理空间内部的初始网格。初始网格可以采用由超限插值方法获得的网格点作为初始值，对初始网格的质量没有特殊要求。初始网格点被当作迭代算法的第一个解，最终网格质量与初始网格无关。

（3）通过数值法或者迭代法求解偏微分方程系统。

由于偏微分方程法在处理复杂几何外形时能够生成光滑的、分布均匀的网格曲面，因此在实际应用中常将偏微分方程法作为一种内部网格优化方法。

2.3.1.3　边界收缩的内部网格调整方法

在变形映射方法中，可通过定义三对相对的边界曲面，利用映射函数生成空间网格点，进而构造中间变形曲面。如果边界曲面有所改动，可以通过调整算法将已有的网格点约束在新的边界曲面内部。将这种边界改动后的网格点调整算法定义为边界收缩的内部网格调整方法，下面详细阐述该算法的计算过程。

首先将计算域中参数变量ui，vj，wk用i，j，k代替，设物理域中任意一个网格点为（i，j，k），边界曲面上的网格点可以表示为F（1，j，k），F（I，j，k），F（i，1，k），F（i，J，k），F（i，j，1）和F（i，j，K），那么，调整后的网格F'（i，j，k）可以表示为

式中：

C1、C2、C3、C4、C5、C6为六个边界曲面的移动距离对初始网格点的影响参数，该影响参数一般取常数。

在数控加工工序模型构造过程中，一般在沿切削深度的w方向上采用变形映射方法构造中间变形曲面作为工序曲面。但是，在实际加工过程中由于几何约束情况会随着切削深度的改变而变化，因此深度方向上工序曲面对应的加工刀具尺寸也会有所变化，需要修改工序曲面的边界来满足实际加工的需求。由此可知，边界曲面的移动距离与深度方向上工序曲面对应的加工刀具的尺寸有关，C1、C2、C3、C4、C5、C6可以根据移动距离来设定。

由前文的描述可知，确定边界曲面的离散点是变形映射方法的关键步骤。目前常通过将边界曲面重新进行参数化来获得离散点，这是由于边界曲面原始参数网格与实体网格不匹配，必须按三维实体的网格划分对边界曲面重新进行参数化。然而，大多数具有复杂加工特征的航空零件，如机匣、叶轮等，其被切削几何体的边界特征通常包含一些几何约束复杂的曲面或者不规则的组合曲面，很难进行参数化。此外，在工程应用中通常需要将零件的CAD模型转化成参数化定义的曲面，比如NURBS曲面。因此，如何获得CAD模型中复杂边界曲面的离散点就成为变形映射方法亟待解决的问题。对于复杂特征的边界定义，一般将复杂边界的约束进行简化和分解处理，以降低曲面离散化处理的难度，然后再对简化后的边界曲面进行离散化处理，以获得CAD模型中复杂边界曲面的有序离散点，从而为后续算法提供数据支持。