课堂实录与教学探讨应用实践优化

与传统课堂相似，本课我们通过“公式的得出、辨析、应用”等3个主要环节进行描述。

环节(一)：公式的得出

|课堂实录片段|

引入：有一个边长为5的大正方形和一个边长为4的小正方形，叠合在了一起(图2)，那么阴影部分的面积是多少？

学生回答(后简称为生)：阴影部分的面积是9。

教师(后简称为师)：反应很快，也很准确！那如果大正方形的边长为10，小正方形的边长为6，阴影部分面积又是多少？

生：64。

师：正确，如果大正方形的边长为7.3，小正方形的边长为2.7呢？阴影部分面积又是多少？

(学生思考，口算有些困难。部分学生开始在纸上用笔计算。)

师：看样子用之前的方法快速算出结果有些困难，有没有简便的方法呢？让我们继续研究。(此时，学生学习新知的基本需求初步达成。)

师：如果大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，阴影部分面积是多少？

生：a2-b2。

师：正确，在知道这个正确答案之后，你还能用其他形式表示阴影部分的面积吗？(小组之间利用学具与操作单合作完成，由组长统计并汇报。教师提供方便快捷的图形学具，各小组积极思考，相互合作，研究出集中不同的形式，教师深入其中，适时指导。)

组1：将阴影部分分割成两个长方形，然后拼成一个大长方形，从而得到阴影部分的面积(a+b)(a-b)。

组2：将阴影部分分割成两个长方形和一个小正方形，得到阴影部分的面积(a-b)2+2b(a-b)，整理后得(a+b)(a-b)。

组3：将阴影部分分割成两个直角梯形的方式，可得到阴影部分的面积2×(a+b)(a-b)。整理后得(a+b)(a-b)。

师：都分割得很好，真是不错的想法！

师：我们来观察一下，不管哪个式子表示的都是阴影部分的面积，那么它们在数量上有什么关系？

生：相等。

师：这样就有a2-b2=(a+b)(a-b)，我们在哪儿见过类似的式子？

生：在学习整式乘法时学习了(a+b)(a-b)=a2-b2平方差公式。

师：实质上我们把整式乘法的平方差公式等号两边互换位置就得到了a2-b2=(a+b)(a-b)。观察这个等式，从右到左是乘法公式，从左到右是什么呢？

生：因式分解。

师：这就是我们这节课所研究的因式分解的平方差公式，用这一公式将一个多项式因式分解的方法就是我们今天将要学习的公式法。

板书：因式分解的平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)。

本环节磨课生成的问题与讨论：在“公式的得出”环节，磨课时大家争论的焦点如下。

方案1，一部分教师认为，因式分解平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)，实际上可以直接由整式乘法的平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2，等号左右两边交换位置，即等式的意义来得到，我们教学时，可以直接得到，这样简洁直观、一目了然。(www.xing528.com)

方案2，另一部分教师则坚持，以学生感兴趣的两个正方形叠合在一起，快速回答剩余部分的面积开始，从特殊情况常是具体数值开始，再过渡到一半，从图形的角度来验证公式。这样操作虽然需要占用一定的自主学习的时间，但是这样能很好地渗透数形结合的思想，引导学生用几何的方式解决代数的问题。

究竟怎样做才是有利于学生的思维发展呢？经过深入的讨论之后，一位教师的发言引起了大家的深思：方案2不仅仅是从图形的角度验证公式，它还有一个重要功能，就是让学生体会学习因式分解平方差公式的重要性和便利性，也就是我们学习新知识的一般动机，这样学生会对本节课产生浓厚的兴趣，方案2更可取。也有教师描述方案2的作用与效果是明显的，但它不能让学生更好的感悟整式乘法与因式分解之间的关系。

真理越辩越明，最后达成了共识。首先通过机组正方形纸片叠合，求剩余部分的面积作为热身，在数据上由简单到复杂的过程中，产生认知冲突，然后设置大问题：利用学具探究正方形边长为a、b时，叠合后剩余部分的面积，从而从图形的角度得到a2-b2=(a+b)(a-b)，然后应用它解决刚才产生认知冲突的问题，即7.32-2.72如何简便计算的问题，让学生充分感受到学习新知识的重要性与必要性，再自然联想到前面学习过的整式乘法的平方差公式，将它左右两边互换位置，就可以得到因式分解的平方差公式。

这样的设计既让学生产生浓厚的兴趣，还使数形结合得更紧密，同时又自然的体现了整式乘法与因式分解的互逆与变形的关系。

为此还采用了一张课堂观察量表(表2)，换个维度观察和比较两种方案的长短。

环节(二)：公式的辨析

在“合作学习卡”环节，课堂展开如下。

|课堂实录片段|

师：请同学们观察公式的特点，谁能尝试用语言描述一下这个公式？

(几位同学描述，教师板书。)

师：我们再来看前面的问题，大正方形的边长是7.3，小正方形的边长2.7，那么阴影部分的面积如何求呢？

学生快速回答：7.32-2.72=(7.3+2.7)×(7.3-2.7)=46。

师：同学们的反应非常好，用我们今天学习的因式分解的平方差公式就能快速计算出结果了！

师：接下来在材料纸上写两个能用平方差公式因式分解的多项式，并且同桌交流一下，说说你写的多项式为什么能用平方差公式因式分解？

(片刻之后，学生纷纷回答。)

组1：x2-9

组2：4x2-9y2

组3：(a+2b)2-(a-2b)2

组4：6a2-24

(学生充分交流后，教师引导学生找出典型例子，并请学生到黑板上讲解，之后老师又出示几个多项式：-x2+y2、-x2+y2、-x2-y2。)

提问：这些多项式能不能用平方差公式因式分解呢？为什么？在因式分解的过程中我们该注意什么？

在同学们的热烈研讨下，大家基本达成共识：应用平方差公式因式分解的是多项式，主要应该有两项，有平方，还有差的形式，两项异号。其中的亮点回答有：一名学生在发言中强调，为了不出错，首先把前后两项写成整体平方的形式，确定谁相当于公式中的a谁相当于公式中的b，然后再进行因式分解。这些都是由学生探究发现的，是非常难得的。

环节(三)：公式的应用

在练习反馈卡中设计一个有思维含量的问题，如下。

从y4， -ab，x4， 16x2， a3b中选取两个式子组成一个多项式，并因式分解，教师先举几个典型的例子，如-x4+y4，x4-16x2，a3b-ab，再请学生上黑板板书讲解。在此过程中，师生发现并纠正了一些典型错误，如没有分解到不能分解为止。学生之间大胆纠错，相互质疑。最后归纳由学生进行和补充，总结出多项式因式分解时的易错点和注意事项。

本环节磨课生成的问题与讨论：关于“公式的辨析”及“公式的应用”环节，第一次上课的设计是引导学生观察公式的特点，再尝试用语言叙述出来。为了进一步体会具体问题中的式子与公式中的a、b对应，并讲解规范的书写格式，然后给出复杂多项式的因式分解(需两次以上的因式分解)，引导学生总结易错点。课后，听课教师在讨论中一致认为，观察公式的特点、用语言描述公式是非常必要的，可以加深对公式的理解。关于具体问题中的多项式与公式中的a、b的对应性的理解，是学生熟练准确应用公式的关键所在，课上老师这样示范，学生会模仿照做，从应试的角度来看，解决简单多项式的因式分解不存在问题，但是突出表现教师牵制学生来思考他们的对应性，那么如何引导学生自己感悟从不同角度辨析公式呢？还有对公式的应用大家也有不同的看法：问题不应该由教师直接给出，易错点也不应该改以教师为主来强调，应让学生悟出。问题出在课堂设置的问题太小，太碎，缺少思维空间。经过大家的研究，对第一次上课的问题设置修改为最后一次上课的方案。改由“合作探究卡”中的共同学习目标。