数学建模与教材设计中的综合与实践优化

（一）数学建模对“综合与实践”的设计要求

要基于建模来设计“综合与实践”，所形成的设计既应该是符合初中学生的数学建模活动，还应该体现《标准》对“综合与实践”的要求。基于建模对第三学段“综合与实践”的目标，概括起来主要有以下九点：初步学会发现和提出问题；积累基本活动经验；掌握一些分析和解决问题的基本方法；体验问题解决方法的多样性；增强创新意识；提高应用意识与实践能力；合作交流、反思质疑；通过数学获得综合发展；能将过程和结果进行归纳总结。

根据建模过程中主要心理活动及对促进因素的分析，以及《标准》对初中数学建模和“综合与实践”的要求，再结合之前所得的“数学建模问题”特征，可以归纳总结出基于建模的“综合与实践”特征。基于建模的“综合与实践”特征，既是对特征的探讨，也是对基于建模的“综合与实践”设计的要求，即要基于建模来设计初中阶段的“综合与实践”活动，要求具备上述的特征。

（二）教材“综合与实践”设计的优点

1.情境与问题设计紧密结合学生的现实生活

现有教材在设计“综合与实践”活动时都紧密地结合现实情境，架起了数学与现实生活之间的桥梁，体现了现实情境在活动设计中的重要性。例如，北师大教材中的“关注人口老龄化”“制作一个尽可能大的无盖长方体形盒子”“哪一款手机资费套餐更合适”“哪个城市夏天更热”“生活中的一次模型”“池塘里有多少条鱼”等活动，人教版教材中的“设计制作长方体形包装盒”“从数据谈节水”“多边形平面镶嵌”“体质健康中的数据分析”“班级调查统计比较”等活动，这些活动都紧密地结合了学生的现实生活实际，都是生活中的常见问题，但对于目前的学生来说，有谁曾真正地去发现这些时时围绕并存在的生活问题，并与学生认为的仅仅只有公式定理的枯燥乏味的数学联系起来，这种奇特的发现可以让学生感受到数学的乐趣。而有效地让学生将实际生活中的问题转化为数学问题，就需要学生运用敏锐的数学思维和扩展的数学角度去提炼这些问题中存在的内在联系，这就是发现问题的过程和体现。数学教材“综合与实践”设计的内容大部分都来自实际生活，让学生体会生活中处处都有数学，数学可以在我们的周围环绕，摆脱以往学生对数学的偏见，产生学好数学的正确信念和动机。另外，教材在设计“综合与实践”活动时都能够抓住学生的好奇心，将情境和问题设计得充满趣味性，提升了学生对于活动的兴趣。例如，北师大教材八年级上册的“综合与实践”活动“哪个城市夏天更热”，对情境的设计采用了三人对话的形式，其内容如下：

（1）我要到长沙去出差，长沙挺热的。

（2）我要到武汉去工作几天，武汉也很热。

（3）长沙和武汉，哪个城市夏天更热？不妨考察一下7、8月份的数据吧！

首先，通过两个人的对话完成了该活动的情境设计，充满趣味又和现实生活结合紧密的对话能够将学生的注意力完全吸引到活动中来，之后又通过第三个人的语言引出问题：长沙和武汉，哪个城市夏天更热？这也正是学生在阅读了之前两人对话之后心中最直接的疑问，教材通过这样的提问方式直接地刺激了学生的好奇心，学生对问题进行探究也就可以顺利地往下进行。在数据呈现之后，教材紧接着通过“议一议”的形式提出了几个问题：影响人体冷热感觉的因素有哪些？我们可以在上述小明设计的表格中增补哪些数据？如何制订适当的标准进行比较？为做出客观的判断，我们应该收集哪个时间段内这两个城市的相关数据？四个问题一环扣一环，在问题的设计过程中再次紧密地联系学生的实际生活情境，如人体冷热感觉的因素，同样能够引起学生的探究思考兴趣。

又如，北师大教材九年级上册的“综合与实践”活动“池塘里有多少鱼”，首先有一段话：要想知道一个鱼缸里有几条鱼，只要数一数就可以了，但是如果承包养鱼塘的农民伯伯想知道自己的池塘中有多少条鱼，该怎么办呢？该活动关于情境和问题的语言就只有简单的两句话，但是却很直接地向学生呈现了一个活生生的情境，学生完全可以想象到自己在日常生活中数鱼缸中的鱼的情境，这也使学生心中充满了趣味的回忆。接下来一句话提出问题，学生大脑中想象的情境马上发生了大变化，仿佛置身于一个硕大的池塘旁边，两种情境的对比引发了学生的兴趣。

2.问题典型、解决方法可推广

现有教材在设计“综合与实践”时都特别注意到了选题的典型性，即所选问题往往是一类问题的缩影，不涉及一些特殊的不具代表性的问题，这对于学生对数学知识的应用有着良好的示范作用，为解决问题的方法的推广提供了基础。分析两版教材“综合与实践”内容，其大致可以分为以下五类。

（1）调查统计概率类

例如，北师大教材的“关注人口老龄化”“视力的变化”“哪种方式更合算”“哪个城市夏天更热”“池塘里有多少条鱼”，人教版教材的“从数据谈节水”“体质健康测试中的数据分析”“简单随机抽样估计全班同学的平均身高”“班级调查统计比较”“表示古树的位置并绘制建筑平面分布图”。教材在不同的年级都设计了这类结合调查统计知识的活动，并且兼顾了对此类问题解决方法的指导，学生能够在参与活动的过程中对解决此类问题的流程与方法有比较深的感悟，当学生在实际生活中再遇到此类问题时，可以将教材所提供的方法推广到现实生活中去，达到数学来源于现实并应用于现实的目的。

（2）方案选择类(www.xing528.com)

例如，北师大教材的“哪一款手机资费套餐更合适”“生活中的一次模型”，人教版教材的“最短路径问题”“选择方案”。在现实生活中，选择方案是我们时刻需要面对的问题，教材选取了三个非常具有典型性的问题，其中北师大教材的“哪一款手机资费更合适”在问题解决的环节和方法上给予了学生非常多的自主性，需要学生通过调查统计获得一些数据，做出一些假设，通过所学函数知识来解决问题，是一个典型的数学建模问题，这种设计也使得该活动更加贴近现实生活。人教版教材的“最短路径问题”“选择方案”在设计的时候更多地聚焦于对问题解决的过程与方法的引导上，教材对解决这两类问题的方法进行了非常细致的示范与说明，学生能够在这个过程中掌握解决此类问题的方法。

（3）规律探究类

例如，北师大教材的“探寻神奇的幻方”“设计自己的运算程序”“计算器的运用与规律探索”“制作视力表”“猜想、证明与拓广”，人教版教材的“杠杆问题”，这些活动的选题紧密地结合了学生日常生活中容易遇到的一些规律性问题。在探究的过程中，利用数学的一些思想方法来指导探究的过程（如分类思想），利用数学的工具来发现并表示这些规律，这对于学生数学学习兴趣的培养以及数学思维的发展有着重要作用。

（4）图形操作类

例如，北师大教材的“制作一个尽可能大的无盖长方体形盒子”“七巧板”“平面图形的镶嵌”，人教版教材的“设计制作长方体形包装盒”“多边形平面镶嵌”“图案设计”“制作立体模型”“设计并制作笔筒”。图形的镶嵌与包装盒的设计制作是我们日常生活中经常面对的问题，教材设计了大量的类似活动，这些活动都要求学生综合利用所学的几何基础知识并动手操作，并且在解决问题的方法方面给予了大量的引导，学生能够较好地掌握类似问题的解决方法，有利于学生在日常生活中的应用。

（5）综合应用类

例如，北师大教材的“设计遮阳篷”，人教版教材的“测量旗杆的高度”，这两个问题都是非常典型的数学建模问题，紧密地结合了学生的现实生活。这两个问题也具有一定的难度，特别是“设计遮阳篷”，因此教材在解决此问题的方法方面做了大量细致的引导说明，仅仅要求学生体会解决此类问题的方法流程。而“测量旗杆的高度”，教材给出了三个图形，对其方法没有做细致的说明，在一定程度上降低了难度，但也给学生的思维和动手操作留出了空间。两个问题都是生活中的典型问题，教材设计体现了选题的典型性，对问题的解决方法也具有普适性，可对同类问题进行推广。

3.问题难度比较适中，兼具障碍性与可接受性

基于建模的“综合与实践”设计要求教材对问题的设计体现一定的障碍性，学生在面对问题时没有可直接解决问题的方法，为学生的思维与探究留出空间，这也是“综合与实践”有别于常规数学问题的地方。但是，这种障碍并不是不可跨越的，在初中阶段，对学生问题解决的要求更多地体现在过程性目标上，而非知识技能，那就必须要保证学生能够顺利地完成整个活动，经历相关的过程。教材在设计“综合与实践”活动时，必须要紧密结合学生已有的相关简单问题的解决经验，对于一些跨度较大的问题，教材还应该设计一些中间环节，帮助学生将问题解决的方法迁移到新的问题的解决过程中来，所以教材对活动的设计还应该具备“可接受性”的特点。比如，北师大教材的“池塘里有多少条鱼”，教材首先提出了问题：要想知道一个鱼缸里有几条鱼，只要数一数就可以了。但是如果承包养鱼塘的农民伯伯想知道自己的池塘中有多少条鱼，该怎么办呢？这是一个学生从未面对的问题，显然也没有直接可用于解决问题的方法，问题具备了一定的障碍性。细想学生解决该问题可能存在的障碍，应该在方法的选择上面，于是教材刻意设计了与该问题相关的摸球问题解决的环节，并且由易到难，使得问题越发地和要解决的问题相类似，从而帮助学生寻找解决此类问题的方法。

同样的例子还有很多，如“猜想、证明与拓广”，教材设计了一些与之类似的特殊问题，帮助学生从特殊到一般，最后解决问题；“哪个城市夏天更热”，先给学生一个最粗略的统计表，引导学生对统计表进行修正，从而解决问题；“平面图形的镶嵌”，先给学生呈现一些常规的几何图形，帮助学生形成镶嵌的相关标准，接着呈现一些非常规的问题，引导学生迁移，最后让学生自己设计图形，环环相扣，学生的已有经验得到了充分的运用。又如，人教版教材的“多边形平面镶嵌”，首先给学生呈现一个日常生活中的镶嵌情境，充分地激活学生的已有经验，然后探讨常规图形镶嵌，帮助学生继续形成经验，最后探讨非常规图形的镶嵌，充分利用学生原有的和刚刚形成的经验；“最短路径问题”，呈现情境，激活学生的日常生活经验，提示“两点之间线段最短”，引导学生利用已有的知识进行思考，解决同侧问题之后，紧接着设计异侧过桥问题，充分利用刚刚形成的同侧问题的经验。

在保证问题具备障碍性的同时，充分利用学生已有经验的例子还有很多。从之前的统计数据中可以感受得到，“综合与实践”活动是一种新的数学学习的形式，但它并不是一个新的知识点，而是对已有知识的综合应用，具备一定的障碍性。为了帮助学生更好地解决问题，教材在设计过程中，在充分结合学生的日常学习过程中积累的相关经验的同时，又设计了一些子问题、子活动，帮助学生形成与问题相类似的非常规问题解决经验，在一定程度上降低了问题解决的难度，也更有利于学生对知识的理解与应用以及数学活动经验的积累。

4.问题解决凸显了一定的过程性

对于本书中的研究而言，问题解决的过程性包含两个层面：问题设计要体现问题解决的过程性；学生问题解决结果要体现过程性。初中学生在建模过程中的多方面的发展是该活动的目的，所以学生经历建模或者问题解决的全过程就非常重要，而初中学生对于科学地解决问题的过程缺乏认识，所以在设计问题的时候就需要考虑该因素，在设计上对学生做引导。而现有教材在问题设计、体现问题解决的过程性上做得较好，主要体现在问题设计的过程性上。例如，北师大教材通过提问的方式或给出一个具体的情景问题，根据问题设置“议一议”“想一想”“做一做”的教学环节，在每个环节中设置几个不同难度、不同关联度的类似问题，学生通过对这些问题的解决，可以逐步体会解决问题的一些方法步骤。例如，“关注人口老龄化”，通过给出目前中国出现的人口老龄化的现实问题的实际情景，议一议周边老龄化的实际情况，通过这些实际情况制订步骤，做一做数学活动，最后再议一议在这个过程中的体会和其他想了解的问题。通过这样的教学环节设计，给学生展示了一个问题解决的全过程，增强了学生对于问题解决过程的理解，能够有效地帮助学生形成有关问题解决过程的认知结构。

人教版教材的“课题学习”则是一个典范，它在给出一个情景后，通过不断地引导来让学生解决问题，学生经历了问题解决的全过程。例如，“选择方案”，通过对现实生活中的两个实例进行阐述，带给学生关于选择最优方案的思考，接着教材设计“分析”环节，带着学生对问题的本质及其影响因素进行分析，然后再选择相应的方法，最后解决问题、归纳，提出让学生选择其他类似活动进行分析、寻求最佳方案的要求。该活动在设计上首先给学生提供了一个示范，引导学生经历体验了解决问题的一般过程，然后再抛给学生问题，学生就可以在此基础上自己去解决新的问题，再次经历该过程，整个活动过程既有引导，也有要求，体现了问题设计上的过程性原则。