小学数学应用题中的代数模型探究

从算术向代数过渡，是学生数学学习过程中极为重要的转变阶段。从解决问题方法多样性的角度看，算术的方法、列表的方法都不失为解决问题的途径。但是，从思维发展的角度来说，代数的思考是在抽象层面上的思考，代数的方法具有一般性，是通性通法，属于较高层次的思维，因此在小学的高年级，应该引导学生从算术的思考逐步地过渡到代数的思考，逐步地从非形式化的水平上升到形式化的思考，从建立算术模型逐步过渡到建立代数模型。当然，任何事物都必须保持一个适当的“度”。用代数方法完全取代算术方法是不可取的，也是不可能的。算术方法有它独特的实用价值和思维训练价值。数学问题的算术模型和代数模型各有所长，应该相互融合，而不是彼此排斥。没有算术的第一步，就难有代数的第二步。如果使得算术与代数完全脱离，使得学生没有对比，看不出算术的缺点和代数的优点，体会不到代数方法的优越性，那么代数也是很难学好的。

小学里的数学知识有限，没有乘方、开方，指数、对数、三角比等概念。因此，从代数的观点来看，所涉及的数学模型都是“线性关系”和“反比例关系”，即问题中的未知量（或者自变量）x都是一次的；或者是线性的正比例关系；或者当变量x出现在分母上，呈现反比例关系。

归纳起来，小学数学应用题的代数型数学模型，主要有两种，即线性组合式、倍数比例式。

（一）线性组合式的模型

1.两积之和的模型

形如ax+by=c的模型，其中有5个不同的量，有些已知，有些未知，通过各种不同的组合形式形成具体问题的数学模型。小学数学里，大量出现ax+by的模型。到商场购物，买两样东西，单价为x、y，数量分别是a、b，那么总付款数就是ax+by。完成一项任务，两组的工作效率为x、y，工作时间分别为a、b，那么总任务为ax+by。鸡兔同笼里的代数关系也是（x、y分别是鸡数和兔数）：2x+4y=总脚数，x+y=总头数。

2.两商之差的模型

形如a÷b-c÷d=f的模型，其中也有5个不同的量，有些已知，有些未知。

例如：

（1）有一个皮鞋店，原来计划12天生产120双皮鞋，实际每天比计划每天多加工2双，实际加工多少天？（120÷x-120÷12=2）

（2）有一笔钱，可以买6千克水果糖，如果买单价贵3元的奶糖就要少2千克，这笔钱有多少钱？[x÷（6-2）-x÷6=3]

（3）甲乙两车同时由A地开往相距600千米的B地，甲车每小时比乙车多行50千米，当甲车到达B地时，乙车行了400千米，甲到达乙地用了多少小时？（600+x-400÷x=50）

当看到这些应用题时，要求学生能够去除一些非本质的属性，触及数量之间的基本结构：两商之差。无论是速度、单价还是工作效率，上述三个问题在代数思维的训练基础上，其数学模型都是a÷b-c÷d=f。两商之差的模型，从数学上看，依然是线性组合的样式，只不过求单位时用除法，比较大小时用减法而已。

（二）倍数比例式的数学模型

小学数学的乘法和除法，其实就是倍数的问题。乘大于1的正整数是增大，除大于1的正整数是缩小。乘一个正分数，就是放大“分子”倍，或者缩小“分母”倍。

例如：

李大妈去买苹果和橘子，苹果的只数是橘子的，如果10只苹果换成10只橘子，那么苹果的只数相当于橘子，李大妈买了多少个橘子？

这一问题的代数模型是：设李大妈买了x只苹果，橘子3x只。那么，7x-70=3x+10，于是x=20。

分析与解：如果这一题用算术解法，因为苹果的个数发生变化，解题遇到困难，抓住苹果和橘子的总数不变作恒等变形：之前苹果个数是苹果和橘子总只数的，后来苹果个数是苹果和橘子总个数的，这样就能很快发现本质关系：和的差是由苹果少了10个造成的，所以苹果和橘子一共为。

这里的算术解法的特殊性和技巧性太强，超出一般小学生的思维能力。而代数解法却具有通性。

（三）小学数学应用题中的函数模型

小学生学的是很初等的数学，但作为教师要有高观点。英国著名数学家阿蒂亚说过：“数学的目的，就是用简单而基本的词汇去尽可能多地解释世界”，“如果我们积累起来的经验要一代一代传下去，就必须不断努力把它们简化和统一。”著名数学家张景中一直致力于把数学变简单一点，把难的变成容易的，把高等的变成初等的。他认为，高等的与初等的数学之间没有必然的鸿沟。把变量和函数的思想、数形结合的思想和寓理于算的思想结合起来，往往能够化难为易、化繁为简。

张景中先生认为函数思想最重要，他力图用函数的思想让小学生来学数学，他认为这样会使小学生学习数学变得容易，因为用函数去思考，更能让小学生理解问题的实质。这样过去曾经使成年人困惑的问题，在以后的年代，连孩子都容易理解。他提出，小学数学里有很多应用题，解题的思想方法常常是因题而异。可不可以引导学生探索一下，用一个思想来解决各种各样的题目呢？受张景中先生的启示，笔者对小学应用题的题型做了一些探究，尝试构建小学数学应用题的函数模型，“多题一解”形成通解。

对于小学数学应用题一般都可以这样去解：先将要求数假设为0，与实际结果比较构造一个数量差；然后再探寻要求数每增加1，上述数量差的变化规律；最后看要求数需要增加到多少，才能使这个数量差缩减为0。

例如：

例1：阳光小学一学期四年级38人和五年级32人共向学校图书馆借书408本，已知四年级平均每人比五年级每人少借4本。四、五年级平均每人各借书多少本？

分析与解：假设四年级平均每人借书的本数为0，那么五年级平均每人借书的本数为4本。而四年级38人和五年级32人共借书4×32=128本，比实际少408-128=280本。

四年级平均每人借书的本数增加1本，则五年级平均每人借书的本数也增加1本，那么四年级38人和五年级32人共增加38+32=70（本）。即上述数量差缩减280本。

四年级每人借书的本数要增加到多少本，才能使“280本”这个差缩减为0呢？280÷70=4（本），即四年级平均每人借书4本，而五年级平均每人则借书4+4=8（本）。(www.xing528.com)

综合算式：四年级每人借书（408-32×4）÷（38+32）=4（本），那么五年级每人借书4+4=8（本）。

例2：某食堂原计划30天用完一批大米，实际每天比原计划多用36千克，结果24天就用完。原计划每天用多少千克？

分析与解：假设原计划每天用大米的千克数为0，那么实际每天比原计划多用36千克。而实际用大米的总千克数比原计划用大米的总千克数多36×24=864（千克）。（两者实际应相等）

原计划每天用大米的千克数每增加1千克，则实际每天用大米的千克数也增加1千克，那么原计划用大米的总千克数增加30千克，实际用大米的总千克数增加24千克，上述数量差缩减30-24=6（千克）。

原计划每天用大米的千克数要增加到多少千克，才能使“864千克”这个差缩减为0呢？864÷6=144（千克），即原计划每天用大米144千克。

综合算式：36×24÷（30-24）=144（千克）。

例3：鸡比兔多4只，兔脚比鸡脚多24只。鸡与兔各有多少只？

分析与解：假设兔的只数为0，那么鸡有4只，而兔脚比鸡脚少2×4=8（只）。实际上，兔脚比鸡脚多24只，两者相差8+24=32（只）。

兔的只数每增加1只，则鸡的只数也增加1只，而兔脚增加4只，鸡脚增加2只，上述数量差缩减4-2=2（只）。

兔的只数要增加到多少只，才能使“32只”这个差缩减为0呢？32÷2=16（只），即兔有16只，则鸡有16+4=20（只）。

综合算式：兔子的数量为（2×4+24）÷（4-2）=16（只），鸡的数量为16+4=20（只）。

例4：静静和亮亮折纸花，静静折的是亮亮的2倍，如果静静再折8朵，亮亮再折1朵，那么静静折的纸花是亮亮的4倍。静静和亮亮原来各折了多少朵？

分析与解：假设亮亮原来折的朵数为0，则静静原来折的朵数也是0，静静再折8朵，亮亮再折1朵后，静静折的不是亮亮4倍，而是比亮亮的4倍多8-1×4=4（朵）。

亮亮原来折的朵数每增加1朵，则静静折的朵数增加2朵。而再折后，静静增加2朵，亮亮的4倍增加4朵，上述数量差缩减4-2=2（朵）。

亮亮原来的数量要增加到多少朵，才能使“4朵”这个差缩减为0呢？4÷2=2（朵），即亮亮原来折了2朵，而静静原来折了2×2=4（朵）。

综合算式：亮亮折的朵数为（8-1×4）÷（4-2）=2（朵），静静折的朵数为2×2=4（朵）。

例5：商场以每台4500元购进一批空调，售价为每台6200元，当卖出这批空调的时，不仅收回了全部成本，而且已获利27600元。这批空调一共有多少台？

分析与解：假设这批空调的台数为0，那么卖出时，收回全部成本，比实际少获利27600元。

这批空调的台数每增加1台，则可以多获利6200×-4500=460（元）。

这批空调的台数要增加到多少台，才能使“27600元”这个差缩减为0呢？27600÷460=60（台），即这批空调一共有60台。

例6：商场购进电视机和冰箱共240台。电视机卖出，冰箱卖出15台后，剩下的两种台数相等。商场购进电视机和冰箱各多少台？

分析与解：假设电视机的台数为0，那么冰箱有240台，卖出后，冰箱比电视机多剩下240-15=225（台）。

电视机的台数每增加1台，冰箱的台数就减少1台，卖出后，电视机多剩下1-，而冰箱少剩下1台，上述数量差将缩减（台）。

电视机的台数要增加到多少台，才能使“225台”这个差缩减为0呢？225÷=150（台），即电视机有150台，而冰箱有240-150=90（台）。

综合算式：电视机的台数为（240-15）÷（1-+1）=150（台），冰箱的台数为240-150=90（台）。

以上这些例题都有其他解题思路，但把它们转化成函数模型进行解答，虽然不一定是它们的最简解法，却具有一般性，是它们的“通解”，这个思路能解决许多问题，正如张景中先生所说，是“大智若愚”。找寻使函数值符合一定要求的自变量，也就是解方程，方程本质上是函数的逆运算。代数模型和函数模型，是一个事物的两面，都是大智慧，贯穿数学的所有领域。

分类模型、算术模型、代数模型、函数模型既是逐步递进，又有交叉。小学里一般以算术模型为主，但是如果小学数学应用题都以函数模型来建立，它将会使许多小学生觉得应用题很简单，对小学数学应用题教学将是一个巨大的改革，本书只是对其进行了一些初步的探究。