小学生模型意识的培养、模型思想的建立要经历一个长期的过程。教材是培养学生模型意识、建立模型思想的主要承载体。《数学课程标准》倡导以“问题情境—建立模型—解释、应用与拓展”作为小学数学课程的一种基本叙述模式，数学教材中的大部分内容已经按照建模的思路编排，教师要多从建模的角度解读教材，充分挖掘教材中蕴含的建模思想，反复琢磨每一具体的教学内容中隐藏着怎样的“模”，需要帮助学生建立怎样的“模”，如何来建“模”，在多大的程度上来建“模”，所建的“模”和建模的过程对学生的数学学习具有怎样的影响等，在此基础上创造性地使用教材，对教材内容进行适度的改进，使之能够引导学生更好地建模。
（一）改进教材，设置反映模型本质的生活原型
教师在设置问题情境时，需要考虑这样几点：根据教材所设置的问题情境是否为学生熟悉，学生是否感兴趣，对学生来说是否具有挑战性；问题情境与将要建立的模型是否有着紧密本质的联系。因此，对教材内容可以进行适当的改进，设置贴近学生的生活，能反映模型本质的生活原型。
例如，在五年级下册“找规律”这一课，教材出示的是：
例1：下面用框框住的两个数的和是3。移动这个框，可以使每次框出的两个数的和各不相同。
（1）一共可以得到多少个不同的和？
（2）如果每次框出3个数，一共可以得到多少个不同的和？
（3）如果在上表中每次框出4个数，一共可以得到多少个不同的和？每次框出5个数呢？
笔者从建模的角度对例1进行改进：
放暑假了，佳佳缠着爸爸妈妈去旅游。于是，爸爸妈妈决定7月1日至7月10日之间带佳佳去上海2日游。知道了这些，你有什么问题想提吗？
教材直接出示的是用数学语言叙述的数学问题，然后让学生进行探究，再找出规律。而从建模的角度，设置反映这一模型本质的生活原型，既激发学生思考的兴趣，又能使学生经历由生活问题抽象出数学问题的过程，提高学生的应用意识。
（二）抽象本质，构建合理的数学模型
在设置出反应模型本质的生活原型后，引导学生提出问题，并逐步抽象，抓住本质，构建出合理的数学模型，是解决问题的关键。
1.提出实际问题，引起建模兴趣
当学生面对教师对教材内容从建模的角度进行改进的生活原型时，可引导学生学会从生活情境中发现问题、提出问题，而不是由教师直接提出问题。发现问题比解决问题更重要。长此以往，学生面对生活中的一些现象时，就会自然而然地去发现问题、提出问题。
【“找规律”教学片段一】（接改进的上例）
师：你有什么问题想提吗？
生1：佳佳的爸爸妈妈可能哪两日安排去旅游呢？
师：你们猜猜看。
生2：可能安排7月1日和7月2日。
生3：可能安排7月2日和7月3日。
生4：可能安排7月5日和7月6日。
生5：咦，一共有多少种不同的日程安排呢？
2.转化实际问题，展开数学思维
应用建模的关键在于语言的转换，能否把通俗语言翻译成数学符号语言，决定了建模是否成功和合理。通过翻译、抽象，完成实际问题到数学问题的转化，再联系所给的数据，才能顺利地进行数学的思维。在这个过程中，教师要善于调动学生转化问题的积极性，千万不能对学生不恰当的抽象或不合常情的假设加以批评或指责，而是要适度地引导和点拨，使学生对实际问题的转化更加恰当。
【“找规律”教学片段二】
师：生5提出了非常有意思的一个问题，你们会解决吗？1～10日我们可以用1～10这10个数字表示，同学们讨论讨论，在纸上再试试，看看有多少种。
（学生讨论）
生1：我们是这样想的：1—10日用数字1—10表示，2日游就是连续两天，也就连续圈两个数字，依次是1和2、2和3、3和4、4和5、5和6、6和7、7和8、8和9、9和10，一共有9种。
生2：我们是这样想的：1—10日用1—10个数字表示，2日游就是连续两天，也就用线将连续的两个数连起来，一共也是9种。
师：这些同学的方法不同，但都特别注意了有序。想想看，有序在这里起什么作用？
生3：不重复不遗漏。
师：我们还可以用套框的方法，我们来一起看看这个不重复、不遗漏的过程。还能再往后套吗？也是几种？
生：9种。
学生在解决旅游问题这一实际问题时，把它进行抽象，“10天”转化成10个数字，“2日游”转化成每次圈连续的两个数或用线连连续的两个数，这样转化成用数学语言描述的纯数学问题，便于学生操作，用数学的思维去探究，为学生合理地建构数学模型莫定坚实的基础。
3.构建数学模型，解决实际问题
在学生将实际问题抽象转化成数学问题的基础上，引导学生通过观察、分析、抽象、概括、选择、判断等数学活动，用数学符号建立数学问题中的数量关系和变化规律，形成关于问题本质的更为一般的模式表达，构建成数学模型。这是建模教学过程最重要的一步。
【“找规律”教学片段三】
师：咱们再仔细观察一下刚才寻找答案的过程。现在如果你们说出框的是哪两个数，老师能迅速地说出是第几种，相信吗？试试看！
生1：3、4。
师：第3种。
生2：6、7。
师：第6种。
生3：8、9。
师：第8种。你们知道老师为什么能迅速地知道是第几种吗？
生4（迫不及待）：每选一种，开头的数是几就表示框了几次，就是第几种。
（板书：作头的数）
师：每选一种，就有一个开头的数。那么这里有十个数，就有十个开头的数了吗？
生：不是。
师：这里有几个不好作头的数？
生：一个，是10。
（板书：不能作头的个数）
师：如果佳佳一家去3日游，一共有几种不同的日程安排呢？同学们在纸上框框试试吧。
（学生练习）
师：谁来汇报？答案是多少？
生5：8种。
师：大家说对不对呢？
生：对。
师：现在反过来老师说第几种，你们来说框的是哪三个数，可以吗？
生：可以！
师：第2种。
生6：2、3、4。
师：第5种。
生7：5、6、7。(www.xing528.com)
师：呀，你们也能很快地说出是哪几个数了，你们是怎么想的？
生8：第几种开头的数就是几。
师：哦，还是看作头的数，第几种作头的数就是几。下面继续，第九种？
生9：没有。
师：不是有9这个开头的数吗？
生1：9不能作为开头，一次3个数，没有11。
师：哦，9、10不能作开头的数，那只能到第几种？是哪几个数？
生2：只能到第八种，是8、9、10。
师：如果佳佳一家去4日游，又有几种不同的日程安排？这一次我们不动手了，提高要求，你能直接说出有几种选择的方法吗？
生3：7种。
师：为什么同学们不用动手也能知道结果呢？发现了什么规律吗？
生4：有几个可以作头的数就有几种。用总个数-不能作头的个数=可以作头的个数，就表示框了几次，也就是几种。
师：不能作头的数与什么有关？
生5：不能作头的数比每次框的个数少1。
师：除了看头，反过来我们还可以看？
生6：看尾。
师：这一题看尾又怎么看呢？同桌之间讨论讨论。
（教师出示相应的动画过程）
生7：总数-不能作尾的数=能作尾的数=种数。
师：看头，看尾，看来我们除了一一列举，我们又找到了一种新的方法。这种方法是怎么得到的呢？不论是看头还是看尾，关键是找准突破口，抓起点终点。想用用这种新的方法吗？如果是5日游，有多少种不同的日程安排？
生8：6种。
师：你是怎样想的？同桌两人先说说。
生9：5日游，每次框5个数，有4个不能作头，用总天数10减去不能作头的数4就等于可以作头的数6，也就是6种。列式10-（5-1）=6（种）。
师：6日游呢？
生1：6日游，每次框6个数，有5个不能作头，用总天数10减去不能作头的数5等于5个可以作头的数，也就是5种。列式10-（6-1）=5（种）。
师：如果现在不再是10天，将总时间延长，7月1日到7月12日，如果佳佳一家来个黄山三日游，一共有几种不同的日程安排？现在总天数变成了12天，刚才的规律还适用吗？如果适用，那黄山3日游一共有几种不同的日程安排？
生2：适用，黄山3日游每次框3个数，就有2个不可作头的数，用12减去不可作头的数2就有10个可以作头的数，就框了10次。也就有10种。列式12-（3-1）=10（种）。
师：真是这样的吗？请同学们动手验证一下。结论和我们的猜想一致吗？
（学生动手框）
生3：一致。
师：为什么总天数变了，规律还适用呢？
生4：不管总天数怎么变，总数减去不可作头的数都等于可以作头的数，有几个可以作头的数就表示框了几次，就有几种不同的日程安排。
师：总时间再延长，如果是7月1日—7月31日，佳佳一家来个香港五日游，一共有几种不同的日程安排？
生5：5日游，每次框5个数，就有5-1=4个不能作头的数，用总数30减去不能作头的数4，就有27个可以作头的数，就有27种。列式31-（5-1）=27（种）。
师：如果一共有m天，佳佳一家来个n日游，一共有多少种不同的日程安排？
生6：n日游，每次框n个数，有n-1个不能作头的数，就有m-（n-1）种不同的日程安排。
通过总天数不变，由2日游逐步变为3日游，再变为4日游、5日游、6日游，使学生逐步发现问题的本质特征，找出规律，建构初步的数学模型，再通过总天数的逐步变化，让学生验证模型的合理性。然后总天数、几日游都在变，学生在变与不变之中思维逐步抽象，由文字模型到符号模型，真正掌握模型的本质特征。在此过程中，学生已经在不知不觉之间很熟练地将每一个实际问题转化成相应的数学问题来思考，两者之间已经水乳交融般，这种自觉数学化的过程有利于学生建模意识的形成。
4.提炼数学思想，提升建模能力
数学问题的解决，核心问题在于数学思想方法的运用，它是建构数学模型的灵魂，体现了学生的建模能力。在学生建构模型之后，要及时地引导学生概括，提炼在建构模型时用了哪些思想方法。例如，上例“找规律”一课中，学生首先运用了转化的思想方法，把实际问题（旅游问题）转化成纯数学问题（平移问题），便于学生数学地思考、探究。其次运用了例证归纳的思想，引导学生探索规律，构成数学模型。在学生构建模型之后，引导学生对这些思想方法进行提炼，可以催化数学模型的建构，提升建构的理性高度，同时也提升了学生的建模能力，为以后顺利建模打下良好的基础。
5.拓展模型外延，深刻理解模型本质
从具体问题经历抽象提炼的过程，初步建构相应的数学模型，还要组织学生将数学问题还原为具体的数学直观或可感的数学现实，使已经构建的数学模型不断扩充和提升，进一步深刻理解模型的本质。例如，“找规律”这一课的问题模型，是通过研究旅游问题建立起来的，但建立模型的过程中不可能将所有的同类事物一一列举。因此，教师要引导学生继续扩展考察的范围，分析当情境、数据变化时模型的稳定性。在提炼出数学思想方法之后，出示如下问题让学生分析：
（1）李峰从年级部为本班领来了周末去紫石博物馆的参观券，KL1020～KL1072，都是连号的，杨毅的腿不舒服，李峰想和张博一起照顾他，想拿3张连号的票，一共有多少种选票的方式？
（2）永乐电影院1号厅有20排座位，每排有32个座位，妈妈和女儿一起去看电影，妈妈和女儿坐在一起，并且妈妈坐女儿的左边，在同一排有多少种不同的坐法？
（3）12生肖顺序是鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪。小丽比小明大2岁，他们俩的生肖最多有多少种可能？
（4）莉莉喜欢花，她想种8行百合，其中相邻3行种白色，其余都种黄色的，她一共有多少种不同的种法？
（5）供电站要检修大街两旁的路灯，每边有20盏，张师傅的任务是检修连续的5盏路灯，他一共有多少种不同的检修选择？为什么？
通过“买参观券”“坐座位”“12生肖”“种百合”“检修路灯”等不同变式的呈现，使学生初步感知旅游问题中“总数-不能作开头的数=选择的种数”，只是一个模型，虽然问题的情境在变化，但问题的本质、数量之间的结构关系是不变的。这一演变的过程只是换了一个“包装”，是对问题原型表象的概括，对问题本质的类推与抽象。
（三）灵活多变，应用数学模型
数学模型来自生活，数学建模的目的是解决实际问题。因此，每个数学模型都应有其本身的应用价值。活用数学模型可以在很大程度上帮助学生深刻领会所学知识，顺利构建数学体系，同时也使学生在解决各种实际问题时，能有“模型”的意识，举一反三，能触类旁通，从而大大提升学生解决实际问题的能力。
1.改进教材习题
习题中有些问题需要改编，成为应用模型的有效素材。例如，把求周长的练习题改成为爸爸挑选一条回家的路线，长方形的面积问题改成为学校音乐会设计一个排位计划等。
2.对比新旧模型
在应用新模型的实际问题中可以夹杂一些前面学习时建构的旧模型，防止学生机械应用所学的模型，再对新旧模型进行对比，既能使学生理解新旧模型的本质，又能使学生活用新旧模型。例如，学生在建立了乘法原理的模型之后，应将它和加法原理的模型进行比较，可设计这样两道题：
（1）书架上有4本故事书，7本科普书，小明从书架上任取1本故事书和1本科普书。共有多少种不同的取法？
（2）书架上有10本故事书，3本历史书，12本科普读物。小明任意从书架上取一本书，有多少种不同的取法？
学生通过两道题的对比，很容易发现加法原理模型和乘法原理模型的区别与联系。这样的对比，可以让学生在不同的情境中提高两种模型的辨别能力，从而更能分清不同模型的本质特征。
3.综合新旧模型
在新旧模型对比的基础上，结合教材中的某些内容，整合各知识点，使之融入生活背景，提出好的较复杂的建模问题，拓宽学生的数学知识，训练学生思维的灵活性和综合运用数学知识解决实际问题的能力，不断提高学生灵活应用各种模型的能力。在学习了“长方体与正方体”后，笔者整合各知识点，并融进生活背景，编拟了这样一道建模问题：
汽车模型玩具是用棱长1分米的正方体盒子包装的，现在需要把24盒装成一箱，为了使包装箱的面积尽可能小，玩具厂征集包装箱设计方案。
（1）设计6种不同的方案（长、宽、高分别是1、1、24；24、1、1；1、24、1属同一种方案）。
（2）想一想：当长方体体积不变时，在什么情况下它的表面积最小？
（3）如果要将36盒玩具装成一箱，当长是（ ）分米、宽是（ ）分米、高是（ ）分米时，箱子的表面积最小。
由于小学生的建模意识和建模能力还处在培养阶段，避免“越位”和增加学生的负担，笔者采取了将其分解，分步解决的办法，以数学问题的形式出现，让学生在问题的引领下解决某些环节，构建起数学模型，并运用模型求解。既发挥了教师的主导作用，体现以学生为主体的原则，又培养了学生的探索精神，引导学生用数学的眼光观察世界，通过数学建模解决实际问题。
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