在解析几何课堂教学中融入数学建模思想的优化方法

《数学课程标准》强调数学教学要创设生动、有趣的情境，引导学生通过观察、操作、实践、归纳、类比、思考、探索、猜测交流、反思等活动掌握基本的知识和技能。创设问题情境，就是在教学内容和学生求知心理之间设障质疑，让学生处于“愤”“悱”的状态，将其引入一种与问题有关的情境。教师创设情境的一个重要作用是激情引趣，即通过实际情境激发学生的情感，引起学生对知识、对科学、对人生的兴趣。用实际问题创设问题情境，能让学生有一种身临其境的感觉，把数学与学生原有的生活经验密切联系起来，使他们感到数学就在身边，生活中到处有数学，更能培养学生用数学的眼光、数学的头脑去观察生活、观察身边的事物，学会用数学思考问题。

（一）让学生动手探究问题是融入建模思想的有效方法

让学生动手探究问题，可以使学生弄懂数学知识的本质，更能让学生体会到生活中处处有数学，生活离不开数学，进而引发学生对数学建模的思考。在教师的引导下，学生会按教师提出问题的方法探究和提出问题。在教师的鼓励启发下，学生体会到发现问题、提出问题、合作解决问题的探究之乐以后，开始有意识地思考问题，试图提出一些有新意的问题，甚至有提出问题难住教师的冲动。学生如果不对所学的知识感兴趣，没有知识的前后衔接，没有认真学习的态度，不进行积极认真的思考，那是绝对提不出有水准、有价值、有探究意义的问题的。深入钻研以后，迈出了由自发探究问题到自觉探究问题的第一步。这样学生已毫无疑问地获得了数学建模的能力。平时只要多思考，多层次、多角度地探寻，不迷信课本，把教材当作一本好的参考书，不盲从权威，凡事换个角度去想一想、试一试，往往就有很多问题被发现、被摆了出来。教师善不善于自己去探究并提出问题，影响着学生探究提问的能力。因此，必须以教师自己的探究设问为基础，从学生的已有认知结构和思维水平出发，将问题当引子、探究当动力，让学生带着问题去动手探究，随着问题探索更深入地主动学习，这样才能有针对性地提高学生的数学建模能力。

例如，在椭圆的第一定义第一课教学中，笔者设计了如下教学过程。

首先，回顾圆的定义，让学生用准备好的工具画圆。由学生动手画圆，并说出圆的定义。画圆时，绳子一端固定在纸板上，另一端拴在笔上，让学生体会笔尖到定点的距离不变的情景。

其次，让学生思考将圆心分开变为两个，绳子两端固定在这两个定点上，用笔勾住绳子，将会画出什么样的曲线。同时师生一起画图，得到一个压扁的“圆”——椭圆，并利用多媒体演示拱桥、橄榄球、天体的运动轨迹等，让学生领略到椭圆是生活中重要的数学模型。

再次，引导学生思考：在运动中，椭圆上的点所满足的几何条件是什么？应该如何描述椭圆上动点M所满足的几何条件？并引导学生分析实验，发现两个确定的量——定点及绳长，变动的量——笔尖（即椭圆上的点）。再一次演示画椭圆的过程，引导学生发现规律：椭圆上的点到两个定点的距离之和总是等于绳长。让学生通过类比整理实验，归纳抽象成数学问题。这里应给予学生充分思考和讨论的机会，引导他们说出自己的发现，并逐步修正得到椭圆的定义。

最后，教师引导学生思考，如果只改变绳长而不改变两定点的距离，又会出现什么结果。

师：如果定点的位置相同，只改变绳长，椭圆又有什么变化？

生：绳越短椭圆越扁，绳越长椭圆越圆。

师：设两定点为F1、F2且｜F1F2｜=2c，｜MF1｜+｜MF2｜=2a，如何通过a，c刻画椭圆的扁圆程度？

学生：当c越小时，椭圆越圆，当c越大时，椭圆越扁。（下略）

本节课是圆锥曲线的第一课时，它是在学生学习了直线和圆的方程的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线。从学生现有的学习能力上看，通过一年多的实验，学生已具备了一定的观察事物的能力，积累了一些研究问题的经验，在一定程度上具备了抽象、概括能力和语言转换能力。从学生的心理学习心理上看，学生头脑中虽有一些椭圆的实物实例，但并没有上升为“模型”水平，如何给椭圆以数学模型式描述是学习的重点问题。学生渴望将感性认识理性化，渴望自己动手作图、观察、辨析和完善概念，通过对比产生顿悟，渴望获得这种学习的积极心态是在教学中融入建模思想的良好情感基础。

（二）巧用变式题型，促进学生对解析模型的认识

在数学学习中，思维定式表现为一种思维的趋向性，即总是按照某种习惯的思路去考虑问题。当这种习惯的思路与实际问题的解决途径一致时，就可以促进正迁移的产生，使问题得到迅速解决；当这种习惯的思维与实际问题的解决途径不一致时，往往形成了负迁移，使思路囿于某种固定的框架之中而不能解脱。由此可见，思维定式既有积极的一面，也有消极的一面。思维定式的消极表现为或者将学生的思路引入错误方向，或者导致错误的思考，从而束缚思维的发展，最终不能解决问题。教学实践表明，思维定式的消极影响在教学活动中普遍存在，而变式教学是克服这种消极影响的重要措施。

融入建模思想的解析几何教学离不开例题、习题，因此在例题、习题的变式教学中，教师要引导学生进行一题多解、多解归一变式，一法多用变式，一题多变式等。

（三）解析几何教学中数学建模开放性试题的设计

在设计数学建模开放试题方面，教师要把握以下六条原则。

1.导向性

选编数学建模问题应在思想内容上富于时代信息，并将真实性、科学性、适应性、挑战性、趣味性和探索性作为其出发点，同时使问题具有过程的完整性、方法的多样性、计算工具的先进性，不仅有助于中学数学素质教育，而且能培养学生分析问题、解决问题的能力。

2.原始性(www.xing528.com)

所给材料应保持其原始性，来自广播电视、报纸杂志的信息，政府机关、企事业单位的报告、计划、统计资料等，都是数学建模问题原始资料的重要来源；也可以引导学生亲自到一线调查研究，注意积累课题资料。

3.综合性

建模例题应具有社会交流层次上的综合性，包括生活知识、语言知识、相关学科知识的综合。建模例题也应具有素质层次上的综合性，包括基本知识、基本技能、基本数学思想方法和能力的“多位一体”的综合。

4.创新性

编制建模例题时，必须考虑培养学生的创新精神和创造能力，为此应注重一题多模或多题一模、统计图表等例题的编拟，密切关注现代技术的发展，融入当代科学发展的主流。

5.模拟性

数学建模例题的编拟途径是改变课本例题和习题、在期刊中优选、实施专题培训，一是同高考复习相呼应的专题；二是同“数学知识应用竞赛”相关的专题。此外，从教师自己的生活实践中提炼和挖掘，发动学生关注生活、体验生活，从中寻求问题。也可以从大学建模“成品”中简化移植，此途径有助于中学阶段较高层次的建模。

6.趣味性

要选取学生感兴趣的问题，即目前学生普遍关心或熟悉的热点问题：如经济或生活中的热门话题，向学生展示来自经济领域、工业和工程科学方面的问题，以激起他们对数学建模的浓厚兴趣。

开放性试题的引入有利于发展学生的数学解题策略和发散思维。试题设计时，首先要关注学生的个别差异，实行区别化分层教学。区别化分层教学更关注学生在个性、兴趣、能力各方面的差异，不但兼顾了后进生和优等生，注重全体、全面发展。其次，将“身边数学”引进课堂，实现大众化数学教学。我们倡导将“身边数学”进入课堂，实现大众化数学教学，发展数学素养，实现知识和能力的完美融合。最后，挖掘数学知识的实用性，培养数学应用意识。学习的最终目标是为了应用，教师要对数学知识和应用题进行深加工，挖掘出数学知识的实用价值，从而培养学生的数学应用意识。加大实践探究力度，重过程而不仅仅是结果。

（四）在教学设计过程中挖掘数学建模思想方法

教学设计是教学活动的一个首要环节，课前教师必须对教材内容进行钻研，把内容背后所隐含的数学思想方法充分挖掘出来，进行合理的教学设计。教师要有意识地在教学目标的确定、教学情境的设定、例题的分析讨论、课堂练习的设置等环节融入数学建模思想方法。在教学过程中，教师应对所学知识中需要重点渗透的数学思想方法加以揭示、阐明、强调，进而把学生这种朦胧感受转变成清晰理解。

（五）在知识形成过程中渗透数学建模思想

教师在充分挖掘高中解析几何内容中的数学建模思想后，应该努力抓好每一个契机，在课堂上将其真正落到实处。从本质上来讲，引出概念、证明定理、推导公式的时候全伴随着数学思想方法的发生，这就给数学思想方法教学提供了素材。

在讲授概念时，教师不应只是简单地把定义抛给学生，可以运用如观察、比较、归纳、抽象、概括等方法带领学生参与概念的生成，在引入概念、剖析概念的内涵和外延，以及运用和推广概念的过程中渗透相关的数学思想方法。在讲授定理、性质、公式等时，也要重视发现与探索结论的过程，别把结论太早地抛出来。教师应该启发学生感受以及体验知识的来龙去脉，如一个结论是如何被提出来的，提出来之后又如何加以证明，证明之后如何加以应用等，帮助学生领会知识背后的数学思想方法。

（六）在问题解决中突出数学建模思想

问题就犹如数学的心脏，其解决是教学活动中的最基本形式。数学上的任何一个问题，从提出直至解决，不仅要有具体的数学内容的支撑，而且更要有相应的数学思想方法的指导。数学思想方法的渗透对探究数学问题起着指导作用，能够使解决问题的过程得到加快与优化，进而产生“做一题，会一类”的效果。教学时，教师应当善于选取一些典型的题目作为解题示范；设计一些具有探索性、有利于深化学生对数学思想方法体验的范例进行教学，要注重教会学生分析和解决问题的方法，着重启迪他们的创造性思维。此外，解完问题以后要引导学生适时反思，反思自己是如何想到这种解法的，是否最优；采用了哪些基本的技巧和方法；走了哪些弯路；哪些地方容易发生错误，原因是什么；该吸取哪些经验教训等。这种反思，不仅有助于学生积累丰富的解题经验，更重要的是能够提高他们利用数学思想方法分析与处理问题的能力。

（七）在复习与小结中提炼和概括数学建模思想

复习与小结是数学教学中的一个重要环节，其主要任务包括概括、提炼和深化所学知识及其背后的数学思想方法，它为实施数学思想方法教学搭建了平台。

学生在平时的学习中所掌握的往往是一些松散零碎的点状知识体系，非常容易遗忘，很难达到对知识的融会贯通和灵活运用，因而复习与小结就显得尤为必要。每节课、每个单元、每章结束后要进行小结，期末要总复习。复习与小结不仅仅是回顾所学内容，而且还要对重点内容进行强化，把内容中蕴含的数学思想方法提炼出来，带领学生将所学内容以及这些内容中所蕴含的数学思想方法系统化，引导学生合理建构知识网络，优化思维结构。另外，复习与小结应该把握横纵两个维度，有助于学生更好地掌握所学内容的内在逻辑与本质属性，并最终领悟数学思想方法的精神实质。