关于解析几何的研究进展

（一）关于解析几何学习的研究

徐策对曲线与方程的研究发现，高中生不能从映射的角度来理解曲线与方程的关系，只是靠做题、模仿与记忆获得初步感知；而且对曲线与方程的概念应用意识不强，没有很好地树立起数形结合的思想去解决问题。

张献峰通过对两所高中三个班级410名学生的测试研究得出：首先，学生了解斜率概念的多种表征形式，但迁移能力薄弱；其次，在斜率表征方式、应用方面，不同年级、不同班级、不同性别之间在解题的应用上有显著性差异；最后，学生具备多角度表征斜率的能力，但是不同表征之间的联系缺乏认识。

徐燕对某重点中学426名高二、高三的学生进行测试研究得出，高中生对圆锥曲线的定义运用好于表述，三种圆锥曲线的方程的理解由高到低的顺序为抛物线、椭圆、双曲线，但是容易混淆基本量a，b，c，p的关系；能够运用定义解决浅层次问题，解决深层次问题时存在问题。

马宁所做的研究认为，学生的解析几何学习成绩与数学思想之间存在着正相关；成绩好的学生更善于应用数学思想帮助解题；解答题中学生不善于应用数学理想。

朱城通过问卷调查和测试得出，学生学习解析几何有一定的畏惧感，部分学生存在着态度情感障碍；学生对圆锥曲线的基本概念理解不透彻，不少学生对于运用概念和定义解决问题存在理解障碍；学生没有掌握基本的运算方法，没有形成基本的运算能力，不少学生对运算操作存在障碍；学生缺乏运用向量解决解析几何问题的意识，导致用代数方法解决几何问题的能力薄弱；由于学生对圆锥曲线中数学思想方法的理解不足，以及学生本身在解题中存在的思维障碍，学生不能灵活运用数学思想方法解决圆锥曲线的综合问题。

（二）关于解析几何教学的研究

徐稼红对陶维林提出的苏教版必修2新教材中先讲斜率再讲倾斜角在逻辑上可能不自然的问题给出了他的观点：在整个新课程体系中，斜率比倾斜角更具核心地位，而且用斜率来刻画直线的倾斜程度更能体现解析几何的基本思想。强调核心概念、核心思想方法，可以让数学的教学更加凸显数学的本质，体现数学思想方法的精髓。

陶维林在执教公开课“直线与圆的位置关系”后撰文，强调解析几何要突出坐标法思想。这节课通过创设问题情境，在“几何画板”中给出一个用直观很难判断其位置关系的直线与圆，让学生判断，引发学生认知冲突，进而引起学生思考。有学生想到了建立平面直角坐标系，通过直线与圆的方程来解决问题。学生给出d与r的关系与联立方程两种方法，教师指出两种方法各有优缺点，进而给出问题“判断直线y=0.3x-1.06与椭圆x2+2y2=1位置关系”，说明了坐标法适用的普遍性。整节课教学过程自然流畅，凸显了坐标法思想。

陶维林评析了“点到直线距离公式”推导的7种方法，提出应从各种方法的难易程度、运算量、思维价值以及学生的实际情况来确定何种方法用于教学比较恰当，而且提出本节课的目的不仅是得到一个结论，更要注重过程，要教会学生学会研究几何问题，突出解析几何的本质：用代数方法研究几何问题，要加强图形结构分析。李大永对陶老师的观点非常认同，但他认为，教学应该考虑学生的实际知识掌握情况和能力基础，认为七种方法中的整体法技巧性过强，即使教师教了学生也难以习得。

左光兰提出，解析几何教学要贴近学生的最近发展区，并进行跟踪教学发现，在解析几何教学中，以旧引新、由易到难、由特殊到一般、设置支架、设置悬念、类比引入都是进入最近发展区的方法。跟踪教学结果表明，在最近发展区理论指导下的教学，能缩短教师的授课时间，教师的讲授不在于多，要做到少而精。

（三）国内外解析几何教学内容的比较分析

解析几何的诞生是数学史上的重大突破，是数学家历经几百年不懈努力的思想结晶。从阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线论》，到欧几里得的《几何原本》，再到帕普斯的《汇编》，圆锥曲线的定义逐渐完善。法国数学家费马以研究古希腊轨迹问题为目的，在韦达研究的基础上建立了只含一条轴的坐标系。笛卡尔对解析几何的建立创下了不朽的功绩，被称为“解析几何之父”。其创建的平面直角坐标系，为解析几何“数”与“形”的转换创造了条件。

近年来，随着教育界对国外数学教育的借鉴、研究，发现解析几何在世界各地的数学教育中都占有重要地位。笔者通过对国外高中数学课程标准的研究，发现各国在解析几何部分的重视程度各有不同。

俄罗斯是重视几何教育的国家，其国家数学教育标准中将“角平分线，三角形、四边形、多边形，海伦公式，圆周角和圆内角、弦切角，相交弦定理，切割线定理，几何变换和几何轨迹，塞瓦定理、梅内劳斯定理，椭圆，双曲线和抛物线等”共同纳入几何范畴，但平面解析几何部分只包括椭圆、双曲线、抛物线三部分圆锥曲线内容，在难度和深度上都远不及我国对该部分内容的要求，同时欠缺对直线、圆等内容，整个解析几何部分知识相对简单，只涉及了圆锥曲线内容，在交叉内容上大大降低了难度。从数学专业的一个示范性大纲的学时分配来看，几何课程的课时为120学时，约占数学课程总学时的三分之一，学时数充足，对学生学习解析几何减轻了负担。另一方面，俄罗斯课标强调，学生既要会基本的解题技巧方法，更要将学习的知识技能迁移到日常生活中。

美国高中解析几何注重对学生数学能力的培养，解析几何内容涉及推理、证明、度量、构图、探索等方面。代数与几何的双边转化突出，以动点的轨迹条件推导椭圆、双曲线和抛物线方程，用方程和圆锥曲线图像建立现实世界问题的模型，认识圆锥曲线方程的一般形式。同时注重实践导出概念，通过作图和几何变换加深理解，重视数学模型的建立。可见，美国解析几何的难度重在建立模型和构图，对解析几何研究深度不高。

从曹一鸣教授对十二个国家平面解析几何课程标准的比较研究来看，在解析几何知识分布广度上，日本和德国偏重圆锥曲线，韩国、法国、美国和加拿大偏重直线，俄罗斯只有圆锥曲线，南非只有直线和圆，芬兰在直线、圆、圆锥曲线方面的知识点极少。从平面解析几何与其他知识的整合度来看，韩国、法国、德国的整合程度较高。(www.xing528.com)

（四）解析几何概念教学与解题研究分析

在解析几何教学中，概念教学无疑是重点。对直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等概念的认识，是进行逻辑推理与运算的基础。例如，圆的定义，强调定义的前提是在平面内，忽视则会导致定义错误。在有关高中数学难点概念的调查研究中，曲线的方程排名第三，名次高于函数概念的教学。可见，解析几何中蕴含难点概念的教学。斯法德指出，概念教学具有过程性和对象性（二重性），概念的获得有先后次序（认识、理解、掌握、运用），形成一个概念，往往要经历由过程开始，然后转变为对象的认知过程。也就是强调概念教学需要学生经历过程，直至对象的产生。

为了达到对解析几何定义认识的循序渐进过程，在椭圆定义的教学中，汪晓勤提出以“发生教学法”进行概念的教学。发生教学法（借鉴历史教学）是学科兴起或进入人类意识的方式。波利亚、弗赖登塔尔等人提倡呈现知识发生的自然过程（历史发展），使学生具备足够的心理准备达到“最近发展区”。发生教学原理以历史事实为依据，让学生经历椭圆产生、发现、定义的历史过程，而非简单的机械作图、轨迹定义再到标准方程，以数学史发展的关键环节置于课堂，激发学生的学习动机与兴趣。

同样基于数学史的视角，李铁安等人提出，以笛卡尔数学思想的文化内涵为素材进行高中解析几何教学，即整体文化驱动（课程诱因价值）；核心概念统领（以曲线与方程的概念为核心）；思想结构分拆（代数、几何独立分拆）；双向模式转化（代数、几何模式互化）。

李振雷在椭圆定义教学中则提出创设问题情境，引导学生思考与探索，经历“再创造”过程。以问题驱动的形式，从圆的图形到椭圆的图形，再由圆的定义到椭圆的定义（定义的类比探究），并借助几何画板演示，完成定义探究.创设有效的问题情境（生活问题情境、科学问题情境、数学问题情境），能够帮助学生构建概念的具体表征，促进问题意识与创新意识相结合。

洪昌强提出，在平时的教学中，应注重培养学生的数形结合能力。“数形结合”是解析几何的核心思想，其中“形化数”与“数化形”都蕴含着大量的技巧与方法。以椭圆标准方程的推导为例，从图中发现量，转化为数；再由形求式，式中构形，最后数形结合。整个教学过程充满“数”与“形”的转化，对培养学生的数形结合意识有重要作用。

在解析几何难点问题教学中，鲍辰婕等人提出开展研（探）究性教学，教师创设解析几何问题情境，引导、启发学生（主体）探究问题、解决问题，学生再创设新的问题情境或对问题进行推广。学生在探究过程中不断思考、实践和反思，经历情感体验，构建知识体系。研究性教学是解析几何教学中的重要教学方式，对于重难点问题进行数学探究，从知识深处把握问题的来龙去脉，同时也加深了学生对数学问题的认知与情感体验。

为了帮助学生更好地认识复杂几何图形与理解动点轨迹问题，认识曲线与方程的联系，数学软件应用于解析几何教学也颇受推崇。几何画板、超级画板、MATLAB等数学软件具有强大的作图功能和动态展示功能。在设置不同参数的过程中，以动态（变化）的图像展示，帮助学生深刻认识曲线的定义与几何图形，搭建抽象与直观的平台。

从已有教学策略研究的角度来看，教育研究者提倡解析几何概念的意义构建（发生原理、文化驱动、问题情境），同时注重学生“数”“形”转化的培养，借助数学软件建立数形转化的“先行组织者”。当然，也有研究者强调解析几何学科本身的难度大，提出探究性教学，通过问题推动知识的意义建构，注重学生的情感体验。

（五）解析几何解题研究分析

解析几何的解题研究占有关解析几何研究的一半以上，解题作为一种问题解决的方式，在数学学习中占有重要地位。数学问题的解决被称为解题，是数学学习的一种重要形式，也是对数学知识、数学技能、活动经验学习的延伸与应用。美国著名数学教育家乔治·波利亚在《怎样解题》一书中，给出了解题的四个阶段：理解题目、拟订方案、执行方案和回顾。罗增儒提出，解题过程是在解题思想的指导下，运用合理的解题策略，制订科学的解题程序进行解题行动的思维过程。

解析几何在高考中的地位无可厚非，是历年高考的必考内容，张益红认为：“解析几何综合题是高考命题的热点内容之一，对解题能力考查的层次要求较高，运算能力要求强。”运算求解是解析几何的核心难点。从解析几何问题的考查内容来看，其综合性强，问题难度大，运算要求高，也吸引着数学教育者的深入研究。

王琛提出，借助对立统一的哲学观念巧解解析几何问题。利用动与静的矛盾统一，对问题进行“动—静”的相互转化；利用生与熟的辩证关系，将陌生问题向熟悉问题转化；利用“分—合”“繁—简”“数—形”“正—反”“进—退”的辩证关系，巧妙解决问题。将哲学中的“对立统一”思想运用于解析几何中，将问题转化为熟悉的问题，但忽视了问题转化中的条件与新问题的处理，多数学生未能达到该水平。

解析几何难就难在运算上，因此代学奎提出化简解析几何运算的几种思想方法：一是极端思想，优化试题难度；二是补集思想，正难则反；三是整体思想，厘清各个量之间的关系；四是方程思想，找到问题突破口；五是函数思想，借助函数性质解决问题。

解析几何中的范围问题、存在性问题、有关角的问题、面积问题等综合性强，考频高，是重要模块。李福莲针对解析几何问题中一类关于“角”的问题的解题方法进行总结，提出了利用正弦定理、余弦定理、向量、正切和斜率、角平分线的性质、对称性等方法，对问题的方法分别举例说明。在解决解析几何的范围问题中，邢天军提出了利用方程、不等式、函数（目标函数、中间函数）等解题对策。

有关解析几何解题策略的研究不胜枚举，不论是对立统一思想，还是解题方法归类，抑或是某一类型问题的解题策略，其核心都在于简化解析几何运算量，因此突破运算困难是解析几何学习的关键环节。