解析几何：从代数到几何的桥梁

变量数学的第一个里程碑是解析几何的发明。解析几何的基本思想是在平面上引进所谓“坐标”的概念，并借助这种坐标在平面上的点和有序实数对（x，y）之间建立一一对应的关系。每一对实数（x，y）都对应于平面上的一个点；反之，每一个点都对应于它的坐标（x，y）。以这种方式可以将一个代数方程f（x，y）=0与平面上一条曲线对应起来，于是几何问题便可归结为代数问题，并反过来通过代数问题的研究发现新的几何结果。数学界公认“坐标法”由笛卡尔和费马各自独立发明。

在笛卡尔看来，过去的几何学采用严格的逻辑推理，过分依赖于图形；过去的代数学太过法则化和公式化，而且代数学的目的仅仅是求出未知数。他想改变过去那种仅仅用来训练思维的几何学，创立一种能解释自然现象的几何学。在笛卡尔的著作《方法论》（全称《更好地指导推理和寻求科学真理的方法》）中，他提出要把逻辑、几何和代数的优点结合起来，建立一个“真正的数学”或“普遍的数学”。他在《几何学》（《方法论》的附录之一）第一卷中，首先建立起数的运算与线段之间的运算的对应关系，把数的运算转化为线段的运算，实际上是把代数问题几何化了。但是，这种对应关系还不完善，无法用线段来表示线段的相除以及线段的开方。《几何学》第二卷研究的是轨迹问题，特别是帕普斯三线、四线和五线问题，其目的是写出这些轨迹的方程，而这个问题是通过引入变数得以实现的，体现了几何问题代数化。《几何学》第三卷研究的是代数问题，笛卡尔把代数方程的根看作方程左边的多项式函数的零点，又一次实现了代数与几何的统一。从此，未知数x不再仅仅是一个符号，而是表示一个变数，而且可以利用方程左边的多项式函数图像的变化研究方程的根的性质。

有着“业余数学家之王”美誉的17世纪法国数学家费尔马，在图卢斯大学毕业后，在波尔多师从韦达，熟悉了韦达的符号代数学；另一方面，他又研读了帕普斯的数学著作，从中了解到阿波罗尼斯的《平面轨迹》，以及帕普斯“n线轨迹”问题。费马以研究古希腊轨迹问题为目的，在前人（特别是韦达）工作的基础上，通过建立只含一条轴（用以度量第一个未知量）的坐标系（用于度量第二个未知量y的线段与坐标轴不一定垂直），将二元代数方程与几何曲线对应起来，成为解析几何的发明者之一。1637年，他的著作《平面与立体轨迹引论》包含了他的解析几何方法。(www.xing528.com)

解析几何把代数的知识和方法系统地用于研究几何，数形结合的思想和方法不但使代数、几何获得了前所未有的进展，而且还使微积分的发明水到渠成。因此，恩格斯说：“数学中的转折点是笛卡尔的变数，有了变数，运动进入了数学；有了变数，辩证法进入了数学。”因此，解析几何既是沟通代数与几何的桥梁，也是从初等数学过渡到高等数学的桥梁。

回顾历史，我们可以发现，历史上的笛卡尔与费尔马发明坐标系，运用方程与曲线相对应的思想来解决数学问题，开创了代数与几何相结合的先河，使得数学发展更加快速与繁荣，催生了很多新的数学分支，不仅表现出了他们极大的数学智慧与创新精神，更为重要的是，我们可以看到坐标法将以前“靠单腿走路”的代数与几何紧密地联系起来，使得数学表现出强大的生命力。