一次函数与正比例函数的教学案例分析

一、创设情境，发现问题

教师拿出一个弹簧，并在弹簧上依次挂上质量不同的物体，让学生观察。

师：同学们，你们有什么发现？

生1：弹簧越来越长。

【发现问题】

师：非常好，那谁知道弹簧的长度与什么有关呢？

生2：与物体的重量有关。

【做出假设】

师：咱们班的同学非常棒。老师手里的弹簧在不挂物体时的长度为3厘米，并且所挂物体的质量每增加1千克，弹簧长度就增加0.5厘米。如果老师挂一个2千克的物体，那么弹簧的长度是多少？

生3：4厘米。

师：挂3千克、4千克、5千克的物体时，弹簧的长度分别是多少呢？

生4：4.5厘米，5厘米，5.5厘米。

师：同学们认为弹簧的长度与所挂物体的质量之间是我们上节课所学习的函数关系吗？

生：是。

师：那你能写出它们之间的关系式吗？

生5：用x表示所挂物体的质量，用y表示弹簧长度，那么y=0.5x+3。

【建立模型】

（设计意图：由于学生刚刚接触函数，所以教师要慢慢引导学生进行函数建模，先从简单的实际情境出发，亲身体验弹簧的长度随着物体质量的变化而变化，可以激起学生的学习欲望，有利于教学的开展。）

二、观察思考，分析变化

某辆汽车油箱中原有汽油60L，汽车每行驶50km耗油6L。

师：请同学们独立完成表6-2。

表6-2　练习题表格

生1：0，6，12，18，24，30。

师：你能写出耗油量y与汽车行驶路程x之间的关系吗？

生1：y=0.12x。

师：你能写出油箱剩余油量z与汽车行驶路程x之间的关系吗？

生1：z=60-0.12x。

【建立模型】

师：关系式中的x可以无限增大吗？有没有一个取值范围？(www.xing528.com)

生2：x表示汽车的行驶路程，油箱里有60升油，汽车每行驶50千米耗油6升。汽车走500千米就没油了，所以x不会无限增大，最大为500升。

师：所以上述的关系式要改为：

y=0.12x（0≤x≤500）

z=60-0.12x（0≤x≤500）

【验证模型】

（设计意图：有教师引导学生建模的基础，教师尝试放手，让学生独立完成，通过追问x的取值范围，让学生建立起数学的严谨性，意识到做事要周全，有利于后面的学习和生活。）

三、合作探究，建立模型

师：请同学们观察我们得到的这两个关系式有什么共同特点。

y=0.5x+3

z=60-0.12x

生1：我发现每个关系式中都有两个变量。

生2：我发现等号的右边是关于x的代数式，并且x的指数都是1。

生3：我还发现等号左边都只有一个未知数，并且未知数的指数也都是1。

【发现问题】

师：同学们都有一双发现的眼睛，很好！那老师帮助同学们总结一下吧。若有两个变量，用x与y表示，并且它们之间的关系式可以表示成y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数（x是自变量，y是因变量）。特别地，当b=0时，则y是x的正比例函数。

【建立模型】

四、巩固新知，应用模型

例题：独立写出下面y与x之间的关系式：

（1）汽车以60km/h的速度匀速行驶，行驶路程y（km）与行驶时间x（h）之间的关系；

（2）圆的面积y（cm2）与它的半径x（cm）之间的关系；

（3）某水池有水15m3，打开进水管进水，进水速度为5m3/h，xh后这个水池有水ym3。

待学生独自完成，再组内交流，最后汇报。再找三名学生分别判断y是否是x的一次函数、正比例函数。

【应用模型】

[设计意图：通过对例题的练习，让学生进一步理解一次函数模型、正比例函数模型，能够根据具体情境写出简单的一次函数的表达式。例题（2）在例题（1）的基础上增加了难度和复杂度，例题（2）实际上是一次函数与方程的结合。例题（3）需要计算、判断、列方程，所以需要学生将所学的知识联系到一起，融会贯通。通过例题的练习，使学生意识到所学模型在生活中的用途，有利于学生对数学的理解。]

五、回顾反思，总结模型

师：请同学们回顾这节课，谈谈有什么收获？

学生先独立回顾再全班交流，教师可以进行适当的提醒，如提问一次函数关系式常数有什么要求，引导学生不仅总结内容，还要总结模型思想和建模方法。

六、教学反思

考虑到学生在接受函数知识上需要一定的过程，所以笔者在发现问题环节通过教具进行演示，并适当表扬学生，让学生在实际情境中探索；考虑到学生的接受能力，笔者在建模各个环节上给予学生一定的引导，但仍有一部分学生需要接受过程，所以要给学生一定的思考时间。从实际问题中发现问题，进行分析，得出函数解析式，并对解析式观察抽象出一次函数和正比例函数的概念，建立模型，再通过具有丰富现实背景的例题，进一步理解一次函数和正比例函数模型，为下一步学习“一次函数图像”奠定基础，并形成用一次函数模型解决实际问题的意识。