初中函数相关分析及其应用

（一）初中函数的学习

人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学（七—九年级）》编著的初中函数的学习不是一次性进行的，而是分阶段进行的，同时也体现了螺旋式上升的课改理念。学生在初二第一学期开始学习一次函数，在初二第二学期开始学习反比例函数，初三第二学期开始学习二次函数，而且在讲这些知识之前要先学习一元一次方程、分式方程和一元二次方程的知识。

（二）初中函数的概念

初中函数的概念的引入，不是直接从理论上干巴巴地讲授，而是通过具体的例子先让学生体会变量与常量的区别，然后引入函数的经典定义：“一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应。此时，我们就说x是自变量，y是x的函数。”这样的概念便于学生理解，但它强调的是一个变量依赖于另一个变量。

（三）初中学生主要学习的函数类型

考虑到初中学生的心理特点及思维发展程度，初中学生主要学习几种简单的函数类型，如一次函数、反比例函数、二次函数等。

1.一次函数

一次函数是初中阶段学生首先接触到的一类基本函数类型，它反映了函数的特点及研究方法和应用模式，有着丰富的生活背景。教师在教学过程中应注重函数模型的建构，体现函数思想在问题解决中的应用，从而降低对函数抽象图像的分析难度。

一次函数在教材中体现了“问题情境—建立模型—概念、性质应用与拓展”的模式：第一，体会常量与变量之间关系的普遍性；第二，感受学习变量关系的必要性；第三，明确函数的三种表示方式，即解析式法、图像法、列表法；第四，研究具体的、简单的一次函数的性质；第五，应用一次函数性质进行问题解决等。

教材的编写紧紧围绕课程标准的要求，通过生活中的实例激发学生的学习兴趣，力求接近学生的生活实际，突出函数是刻画客观世界的重要数学模型，运用函数的思想可以帮助我们研究量的变化规律。以“创设问题情境—组织数学活动（包括观察、实验、猜测、尝试、探索、验证、推理、交流、反思等）—提炼概括（包括建立模型）—巩固、应用和拓展”的叙述模式呈现数学内容，使学生在解决数学问题的过程中再学习、形成解决问题的策略、领会函数思想和方法、学会以函数的观点进行思考问题。

待定系数法是一种常用的求未知数的方法。对于一些数学问题，先假定一个含有等待确定系数的恒等式，然后再根据恒等式的性质，列出含有待定系数的方程或方程组，通过解这个方程或方程组，从而求出待定系数的值。求一次函数的解析式，经常用到这种方法，这也是学生今后常用到的数学方法。一次函数的解析式y=kx+b有两个待定系数，需要用两个条件建立一个二元一次方程组，进而通过解方程组来求得解析式。用待定系数法求函数解析式的理论依据是函数图像的完备性与纯粹性，即坐标满足函数解析式的点在函数图像上，反过来函数图像上的点的坐标满足函数解析式。

一次函数教学中的重难点主要是结合实际问题运用函数观点进行解决，灵活运用函数的基本性质，以及数形结合思想的贯通与应用。由于学生的生活经验有限，对于较复杂的生活情境问题不能很好地理解，以至于对问题的定位出现偏差。学习的难点也成为教师教授时的困难之处，对学情的掌握、教法的钻研、教学的组织等都成为函数教学中的关键问题。

【注：一次函数，表达式y=kx+b（k≠0）。图像是一条直线，当k＞0时，图像是一条上升的直线；当k＜0时，图像是一条下降的直线。】

2.反比例函数

反比例函数是继一次函数之后又一类重要的函数类型。同样，反比例函数也是刻画现实世界的重要数学模型，在人们的生活、生产以及科研中都有着广泛的应用。

反比例函数同样也体现了“问题情境—建立模型—概念、性质应用与拓展”的模式，结合生活中的物理现象、科学知识，如密度、压强与体积、杠杆原理、欧姆定理、电功率计算等，随着学生各科知识的增长，也为反比例函数的学习创造了更丰富的情境，也体现出反比例函数的实用性。

例如，反比例函数性质的探索过程——根据图像和解析式探索并理解其性质；在实际问题中的应用。这符合课改的理念，通过共同探讨知识发生的过程，培养学生主动、自主探索问题的意识，同时能够联系实际，提高学生分析解决问题的能力。反比例函数思维要求相对比较高，图像分为两支，具有不连续性且又是曲线。从一次函数的直线型图像到曲线图像的转变，学生理解起来相对困难，好在学生已经经历过一次函数性质以及图像的探索过程，初步掌握了描点法作图象，这为学生探索理解反比例函数创造了条件。

反比例函数的学习重难点，总的来说就是反比例函数的意义与应用。第一，反比例函数为今后学习图像与曲线的关系（如二次函数）提供了研究方法。反比例函数本身在日常生活和生产中也有着许多直接应用，这对学生建模思想、数形结合思想、分类思想、划归思想等重要思想方法的形成也会产生较大的影响。第二，反比例函数图像是由两个分支组成的曲线，给研究反比例函数的性质带来了复杂性，学生不易理解；综合运用反比例函数的解析式、图像和性质解决实际问题时，往往会遇到较复杂的问题情境，需要将问题进行抽象化，通过建立数学模型，利用图像以及综合运用方程、不等式及其他数学模型，在解决问题的过程中发现数学的价值与美，从中使学生学会全面考虑问题，培养学生的合作精神。这其中渗透的理念也正是课程标准对课程、教学所倡导的。(www.xing528.com)

【注：正比例函数，主要研究y=kx（k≠0），图像也是一条直线且过原点，它是一种特殊的一次函数，一次函数的特征它都具有。反比例函数，主要研究，图像是双曲线，且x趋向于无穷时，y趋向于x轴；x趋向于0时，y趋向于无穷。】

3.二次函数

二次函数是初中阶段所学的第三种类型的重要函数模型，体现了知识的螺旋上升发展，也是函数学习的一个重要环节。16世纪末，伽利略通过比萨斜塔实验验证的著名自由落体运动公式，就是二次函数刻画物体运动的最好例证，也是最重要的物理学公式之一。

二次函数在反比例函数之后学习，一方面体现了知识的连贯性，另一方面作为对前面两种基本函数类型学习的一个延伸与提高。二次函数也是某些单一变量最优化问题的数学模型，如求最大利润、最大面积、最短距离、最小损失等实际问题。二次函数曲线——抛物线，也是人们日常生活中最为熟悉的曲线之一，喷泉的水流、投篮的曲线等都形成了抛物线路径，同时抛物线形状在建筑上也有着广泛的应用，如抛物线型拱桥、抛物线型隧道、北方农村的窑洞门窗等，体现出一种视觉美感。与一次函数、反比例函数一样，二次函数也是一种非常基本的初等函数，对二次函数的研究将为学生进一步学习函数、体会函数思想奠定基础和积累经验。

二次函数的重点是对图像及性质的理解与掌握，熟练掌握二次函数图像的画法（五点法作图），学会观察函数图像，从图像上读取信息，借助函数图像来研究函数性质并解决相关的问题；教学的难点是体会二次函数学习过程中所蕴含的数学思想方法，函数图像的特征和变换以及二次函数性质的灵活应用。函数，与运动、变化相联系，也就是要转变以前的固定的思维模式，进而扩展到以普遍联系的眼光看待问题，整合初中数学基础知识为函数学习所用。可见，函数学习是一个综合运用的过程，更是对初中数学学习的一个凝练与升华，是站在更高的水平起点上进行的动态分析。从静态到动态，需要有铺垫，好比让一个性格内向的人转变为性格外向的人，这是一个需要自身努力与外界帮助的过程。

教材注重引入二次函数概念的现实背景，通过让学生感受其实际意义来激发学生的学习兴趣；注重让学生在学习的过程和实际应用中逐步深化对概念的理解和认识，进一步领会二次函数的实用价值，感受二次函数给我们生活带来的便捷。学生的学习是在已有学习经验的基础上进行的，强调加强与学生已有知识的联系，激发学生的思考意识，引导学生与已有知识进行联系、比较、归类等，经历对新知识拓展、归纳、更新的过程，积极参与知识的发生、发展过程，掌握在具体二次函数研究中的方法与原理。提供多样性的研究学习材料，利用配方法沟通二次函数、一元二次方程、不等式（组）之间的联系与相互转化，重视对学生综合运用函数知识解决实际问题能力的培养。

函数思想蕴含在函数知识以及解决问题的过程中，集中体现于对实际问题的数学模型建立。在将问题进行“数学化”的过程中，采用的最有效的手段之一是辨析出自变量与因变量之间的依存关系，用函数的观点构建出适当的模型，从而达到解决问题的目的。

【注：二次函数，主要研究y=ax2+bx+c（a≠0）、、y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0），二次函数的图像是一条抛物线，开口方向由a决定。当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下。二次函数与x轴的交点就是二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根、二次函数与二次方程的关系。】

（四）中学生接触到的函数的归类

学生从初中开始接触函数，到高中毕业时，断断续续地会接触到很多函数类型，而且有些函数类型能很好地体现数学的思想——数形结合思想、函数与方程的思想。

大体上，中学阶段（包括初中、高中）学生接触到的函数类型可以归类为基本初等函数和特殊函数。

1.基本初等函数

基本初等函数包括初中学习的一次函数，如y=kx+b（k≠0），二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）；高中学习的指数函数y=ax（a＞0且a≠1），对数函数y=logax（a＞0且a≠1），幂函数y=xa，三角函数。其中，y=lgx与y=lnx是对数函数中a为10，e的情形；幂函数仅研究a=1，2，3，，-1时的情形，而a=1时正是学生在初中学习的正比例函数，a=-1时是学生在初中学习的反比例函数；三角函数目前在高中阶段主要有正弦函数y=sinx，余弦函数y=cosx，正切函数y=tanx。

2.特殊的函数

学生在初中阶段学习了正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数，进入高中后，中学阶段的基本初等函数就已经全部学习了，但在实际生活中，经常要遇到打车计费问题、个人所得税问题、阶梯电价等实际问题，于是教师给学生介绍了分段函数。另外，在早先教科书中出现的反函数，在新教材中也再次出现，只是要求不如以前那么高了，只需了解指数函数与对数函数互为反函数即可。

随着高考难度的变化，教科书上没有提及的复合函数也屡屡在高考题中出现，因此复合函数也是高中学生必须学习的，特别是二次函数与指数函数、二次函数与对数函数、二次函数与三角函数、一次函数与指数函数、一次函数与对数函数的复合题型。