小组合作学习：引导学生理解方程的意义

（一）第一课时：“用字母表示数”教学设计及实施

1.教学内容

用数字表示字母。

2.教学目标

（1）知识与技能目标

认识并理解用字母表示数的意义，体会其重要作用，学会用字母表示数。

（2）过程与方法目标

学习用字母表示数的必要性，向学生渗透模型思想。

（3）情感态度与价值观

通过数学建模活动激发学生的学习热情，培养学生的热情。

3.教学重难点

（1）教学重点

理解用字母表示数。

（2）教学难点

探索规律，建立起用字母表示数的模型。

4.具体教学过程设计

（1）导入：创设情境，感知模型

通过谈话，让学生体会字母在生活中的运用。教师通过问题引导学生根据自己已有的生活经验进行回答，引出本节课的课题。（教师板书）

（2）合作探究，建立模型

①用式子表示教师的年龄

师：学生今年10岁，假设陈老师比学生大15岁，那陈老师今年多少岁呢？请用同学们用算式回答老师。（创设问题情境）

预设：

生1（直接说出最终的结果）：20岁。

生2：10+15=25岁

因为之前没有学习过直接用式子表示，学生有可能不会回答，教师进行相应的引导：如果用一个式子来表示陈老师的年龄，会出现什么样的结果呢？（教师板书“10+15”）

接着引导学生根据教师创设的问题情境进行回答：今天我们就用这种方式来表示陈老师的年龄。那明年陈老师多少岁呢？那当你们5岁的时候，陈老师的年龄是多少呢？那当你们7岁时呢？请用同样的方式来表示。

在学生回答的过程中，教师进行板书，将学生的答案进行记录。

预设：

生1：我的年龄+15=老师的年龄。

生2：我的年龄+15。

生3：A+15。

生4：N+15。

生5：M+15……

教师引导学生观察黑板上记录下的式子，得出固定不变的年龄差以及发生变化的两个年龄分别是什么。

预设：

生1：6×2=12个。

生2：6×2。（教师引导学生只用式子进行回答）

生3：6×3。

生4：6×4。

生5：6×10。

生6：6×100……

以小组合作学习的方式，引导学生将黑板上所有表示陈老师年龄的式子用一个式子来表示。（猜想假设）

预设：

生1：6×X。

生2：6×N。

生3：6×M。

生4：6×A……

数学具有简洁美、符号美。教师继续引导学生用最简洁的方式表示陈老师的年龄，最终确定任意一个字母+15都可以表示陈老师的年龄。（建立求陈老师年龄的数学模型）

为加深学生的理解，进一步提问字母所代表的意思以及建立求陈老师年龄的数学模型的价值，既巩固了学生对数学模型的理解，也加深了学生对模型思想的认识。

（设计意图：教师提出适当的问题，引出“如何用最简洁的方法表示老师的年龄”。在这个过程中，指导学生根据具体的问题情境，学会用一个固定不变的字母来表示学生的年龄，再根据教师与学生年龄之间的关系，建立出教师年龄的模型。整个过程遵循了教学设计的情境性原则、启发性原则以及师生互动的原则。）

②共有多少竹笋？

师：同学们，刚才我们在学习中体会到了通过用字母表示数的简洁方便，接下来我们继续探讨一下如何用字母表示数呢？请看大屏幕，熊猫宝宝的篮子中有6个竹笋，那么两个篮子可以装多少竹笋呢？（创设情境）

师：3个篮子呢？4个篮子呢？10个篮子呢？100个篮子呢？等等。

教师继续引导学生用一个式子代表上面的所用回答。学生合作学习，交流探索。（猜想假设）

师：在数学学习中，我们一般用字母x来表示我们不知道的数，即未知数。

最终确定用6×x来表示竹笋的数量。（建立求竹笋数量的数学模型）

引导学生通过问题解决提高学生的模型应用能力。

师：现在老师这里有17个篮子，请同学们想想共有多少个竹笋呢？根据刚才我们总结得出的求竹笋数量的数学模型自己试试看。（应用模型）

在刚才学习的基础上，学生应该会顺利求出竹笋的数量。

（设计意图：在两个环节的问题中，使学生通过小组合作或自主探究去主动建立简易的数学模型，初步感知数学模型的建立过程，了解到数学模型建立的前提是要找出未知数，一般用字母x来表示未知数，找出数量之间的关系，再根据数量关系建立数学模型，呈现出要解决的问题的这样一个过程。在此教学设计中，为学生提供了独立思考及合作探究的空间。此环节的设计主要遵循了启发性原则。）

③师生共析，运用模型，学生完成课后练习题：辅导班的人数分别如何表示？

师：在我们学校旁边的学士花园小区有A、B两个数学辅导班，A辅导班有a人，分别求B辅导班有多少人：A辅导班的人数比B多30人；B辅导班的人数比A多30人；A辅导班的人数是B辅导班人数的2倍；B辅导班的人数是A辅导班人数的2倍。（创设情境）

学生独立思考解决问题，将答案写在练习本上。

预设学生的解题结果：学生在刚才学习的基础上，估计会顺利解决上面的问题。（应用模型）

教师总结：这节课我们学习的式子既可以表示一个具体的结果，也可以表示数量关系。

（设计意图：学生通过问题解决体会建立模型的过程，从中体会成功的乐趣，可以促使学生对用字母表示数的学习产生兴趣，进而意识到数学模型的重要价值，体会模型思想的深刻内涵。）

（3）课堂小结，巩固模型

师：通过这节课的学习，你有哪些收获？可以跟老师交流一下。

在这个过程中，教师要对学生的回答进行必要的补充与肯定，使学生在脑海中形成用字母表示数的这样一个模型。

（4）教学总结与反思

整节课的教学设计贯穿了连贯性的教学设计原则。“用字母表示数”是学生初次接触方程知识，是五年级上册的重要内容之一，教学内容是学生非常熟悉的，有利于教师在教学过程中渗透模型思想，培养学生数学建模的能力。本节课的内容是方程的入门知识，相对来说比较简单，加之教学设计题材生活化，贴合学生的实际情况，教学开展比较顺利，在教学过程中没有碰到生成性的问题。课伊始，通过创设情境导入教学内容，调动学生学习的积极性。接下来，通过对教师提出问题的解决，建立表示教师年龄的模型，在这个过程中使学生明白这个算式既可以表示一个具体的年龄，也可以表示一种关系。然后通过自主探究，使学生初步感知数学模型的建立。在这个过程中，通过问题解决使学生初步感知简单的数学模型，初步接触了解数学模型思想。

（二）第二课时：“方程的意义”教学设计及实施

1.教学内容

方程的意义。

2.教学目标

（1）知识与技能目标

在教师创设的情境中，理解掌握方程的意义，弄明白“等式”与“方程”这两个概念，建立起等式与方程的概念模型。

（2）过程与方法目标

经历从具体情境到方程概念建构的过程，感知方程是一种数学模型，逐渐深化模型思想；培养学生分析理解问题以及抽象概括的能力。

（3）情感态度与价值观

加强数学知识与现实世界的联系，通过数学建模活动向学生渗透数学模型思想以及转化思想，培养学生的合作意识以及数学应用意识。

3.教学重难点

（1）教学重点

理解掌握方程的意义。

（2）教学难点

建立方程模型，体会模型思想。

4.具体教学过程设计

（1）创设情境，感知模型

教师出示教具天平，通过问题引导学生举手发言。（创设问题情境）

预设：学生说出天平的三种状态，即平衡、向右倾斜、向左倾斜。

（设计意图：通过学生熟悉的天平引出教学问题，激发学生的学习兴趣，并为接下来的数学模型的建立打下基础。本环节的设计遵循情境性的教学设计原则。）

（2）合作探究，建立等式的数学模型

①探究只含数字的等式

师：现在老师手中有一个500克重的砝码，老师把它放在天平的右侧，这时天平会怎样？如何让天平保持平衡？（创设问题情境）

预设：

生1：500克的砝码=500克的砝码。

生2：500+500=1000。

学生根据已有的生活经验，能够想出解决的方法。（猜想假设）

预设：

生1：等式像天平的平衡状态。

生2：等式的左右两边相等。

师：请看大屏幕，天平的右边有两个500克的砝码，右边放多重的砝码，天平两边才可以保持平衡呢？我们如何用数学的方法进行表示呢？（创设情境）

同桌相互交流，提出自己的想法。（猜想假设）

教师引导学生观察以上式子的特点。教师结合学生的回答引导学生总结出等式的特点，请学生举出等式的一些例子，通过具体的例子帮助学生抽象出等式的模型。等式的左右两边相等，等式用“=”号进行连接。（建立等式的模型）

②探究建立方程的模型

师：接下来我们继续看大屏幕，天平的右边是50克的砝码，左边是100克的砝码，天平左高右低，现在在天平的右边加一个不知重量的砝码，天平如果向右倾斜，你能用算式进行表示吗？如果天平向左倾斜，你能用算式进行表示吗？如果天平左右相等，你会如何进行表示？如果两个同等质量的砝码在天平的右侧，左边是100克的砝码，左右两边呈现平衡状态，请问如何用算式进行表示？（创设问题情境）

学生基于刚才的学习，通过独立思考进行解答。（猜想假设）

预设：由于前面环节的学习，学生顺利得出：

50+x＞100

50+x＜100

50+x=100

2x=100

（教师板书）

教师引导学生对这些式子进行分类。

预设：学生从等式以及不等式的角度进行分类，这是教师期待的，若没有，教师要有意识地进行引导，继而引导学生注意等式中的未知数，请学生举手说一说。（猜想假设）

师：很好，像这样的含有未知数的等式我们给它们取个名字，请同学们想想叫什么名字好呢？（建立方程的模型）

经过学生的一番讨论之后，教师揭示“方程”。

师：现在，我是学生，你们当老师，请你们举几个方程的例子，再向我讲讲什么是方程好吗？（应用方程的模型）

③找出方程与等式的相同点与不同点

教师引导学生比较方程与等式的区别，采取小组讨论的形式。

教师要引导帮助学生根据前面环节中的等式以及方程模型进行必要的补充。

教师总结：方程一定是等式，但等式不一定是方程。（等式以及方程模型的应用）

预设：

生1：它们都是相等的式子。

生2：方程里有未知数，等式里有的有未知数，有的没有未知数。

（设计意图：本环节是这节课的重中之重，主要通过教学活动层层递进地让学生自己探究什么是等式，什么是方程，以及两者之间的相同点以及不同点。在这个过程中建立起等式以及方程的模型，在教学中通过分类的教学活动以及方程模型的应用使学生更加深刻地体会方程的概念，帮助学生建立起方程概念的模型，进而更深层次地理解模型思想的内涵。）

（3）应用方程模型，解决实际问题（模型的应用）

①判断方程式

师：下面我们来判断一下，这些是方程吗？

56+x＞70

80-x=30

66÷2=33

学生共同回答。

②自主完成课后练习

学生自主完成教材上的课后练习。

③师生交流

师生交流，核对课后练习的答案，并对有问题的地方进行讲解。

（设计意图：本环节主要是通过练习题巩固学生的方程概念，运用方程模型解决实际问题，提高学生的方程模型应用意识。）

（4）课堂小结，巩固方程模型

师：在这节课中，你学到了哪些知识？可以与老师交流一下，也可以与同桌交流一下。

在这个过程中，教师要对学生的回答进行必要的补充与肯定，使学生在脑海中形成方程这样一个模型。(www.xing528.com)

（5）教学总结与反思

整节课的设计遵循了连贯性的教学设计原则，主要通过创设情境引导学生进行学习。由于情境教学比较符合学生的心理认知发展，学生结合已有的知识经验，接受起来比较容易，教学过程比较顺畅，没有碰到大的阻碍。导入环节调动学生的学习兴趣，接下来的教学主要围绕什么是等式，什么是方程以及两者之间的区别层层展开递进，并在此过程中引导学生建立起方程的概念模型以及等式的概念模型。之后主要是通过实际问题的解决强化学生本节课所学的知识，提高学生对所学知识的应用意识，以此加深学生对模型思想内涵的深刻认识。

（三）第三课时：“等式的性质”教学设计及实施

1.教学内容

等式的性质以及解方程。

2.教学目标

（1）知识与技能目标

理解等式的两个性质并能运用等式的性质解方程，初步理解方程的解和解方程这两个不同的概念，建立起等式性质的模型。

（2）过程与方法目标

培养学生观察、分析、抽象和概括的能力。

（3）情感态度与价值观

通过数学建模活动培养学生的兴趣，激发学生的内在学习动机，培养学生的模型思想。

3.教学重难点分析

（1）教学重点

理解等式的性质。

（2）教学难点

运用等式的性质解方程，体会模型思想。

4.具体教学过程设计

（1）开门见山，导入新课

师：上节课我们利用天平的性质认识了方程，今天这节课我们要在上节课的基础之上学习“等式的性质和解方程”。

（设计意图：由于本节课是在上节课的基础上进行的，并且是以学生的探究活动为主，所以笔者在导入的环节开门见山，直入主题，有利于将学生的注意力吸引到接下来的教学环节。）

（2）合作探究，建立等式性质的模型并求解模型

①建立等式的性质1的模型

师：同学们请看大屏幕，屏幕上是一个左右两边均放着50克砝码的天平，现在老师在天平的右侧加一个10克的砝码，那么天平会怎样呢？我们如何才能够使天平恢复平衡呢？请用数学语言进行表述。（创设情境）

为使教学体现层次性，引导学生先考虑一种情形，即50+10=50+10；左边的天平+10=右边的天平+10。教师接着请学生对这种情况进行概括总结。

预设：

生1：50-10=50-10。

生2：右边的天平-10=左边的天平。（猜想假设）

学生经过一番谈论之后，得出等式的两边加上一个相同的数，等式的左右两边仍然相等。（初步建立模型）

教师引导学生进行第二种情况的分析得出，等式的两边同时减掉一个相同的数，等式的左右两边相等。

师：通过刚才我们两次的天平操作，我们得出了什么结论呢？谁来总结一下？

生：等式的两边同时加上或减去一个相同的数，等式的左右边相等。

教师在学生的回答过程中进行必要的总结补充（多次回答后的统一）。教师总结，帮助学生建立起等式性质1的模型。（等式性质1模型的建立）

②应用等式性质1求解方程（如图5-2所示）

图5-2　数学例题1

教师出示情境图：同学们请看大屏幕，请说说从题干中你读出了哪些数学信息？（创设情境）

学生独立思考，自主回答。教师引导学生提高自己分析理解问题的能力，引导学生根据题干中的信息列出方程。同桌相互讨论，教师在此基础上引导学生利用等式性质1的思路进行方程的求解，小组内可以进行交流。（猜想假设）

预设：

生1：9-3=6。

生2：x+3=9。

学生经过一番讨论之后得出：等式的两边同时减去3，求得未知数为6。（应用等式性质1模型）

预设：

生1：

x+3=9

x+3-3=9-3

x=6

生2：

x+3=9

x=9-3

x=6

教师总结：刚才同学们在求解未知数x的过程就叫作解方程。

③建立等式性质2的模型

师：同学们请看大屏幕，现在天平的左右两边均有10盒牛奶，现在老师将左右两边的牛奶的盒数扩大为原来数目的2倍、3倍、4倍等，那么天平的左右两边还会相等吗？（创设问题情境）

学生猜想假设进行，教师操作PPT进行验证。

师：如果老师将原来的牛奶盒数平均分成两份，都去掉其中的一份，那么牛奶盒数还会相等吗？（创设情境）

学生猜想假设进行，教师操作PPT进行验证。

教师引导学生结合刚才总结的等式的性质1，将刚才的两种情况进行总结。学生经过多次回答后统一，等式两边同乘一个数，同除以一个不为0的数，等式的左右两边相等。在此过程中，教师进行必要的补充。

教师总结：这就是我们今天要学习的等式的性质2，等式两边同乘一个数，同除以一个不为0的数，等式的左右两边相等。（确立等式性质2模型）（如图5-3所示）

图5-3　数学例题2

教师出示情境图：同学们请看大屏幕，请说说从题干中你读出哪些数学信息？（创设情境）

预设：

生1：天平左右两边的物品重量相等。

生2：3个x的重量等于18个方块的重量。

学生自由发表见解，教师有意识地引导学生分析理解问题，提高学生的分析概括能力，引导学生根据题干中的信息列出方程。（同桌相互讨论）

预设：

生1：x+x+x=18。

生2：3x=18。

教师在此基础上引导学生利用等式的性质2的思路进行方程的求解，小组内可以进行交流。（猜想假设）

学生自主尝试应用等式的性质2求解验证方程。（应用方程的性质2求解并验证方程）

（设计意图：在本环节中，主要是通过学生独立自主的探究活动加之教师有效的引导，学生自己在教学活动中发现，等式的两边同时加上或减去同一个数，等式的两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式的左右两边相等的性质。然后在每一个性质的学习之后，笔者都设计了一个巩固练习题，利用等式的性质求解方程。在这个过程中，学生既巩固了方程的性质，又将学习到的等式性质的模型应用到解方程中，加深了对模型的认识，能够使学生深层次地体会到模型思想的内涵。）

（3）应用模型，解决实际问题（模型应用）

①看图5-4列方程，并求出方程的解。

图5-4　数学例题3

②解下列方程

6x-35=13

3x-12×6=6

（5x-12）×8=24

（设计意图：在本环节中主要通过题目练习，让学生在实际问题的解决中巩固等式性质、应用模型，提高学生的数学应用能力，加深对模型思想的理解。）

（4）课堂小结，巩固模型

师：在这节课中，你学到了哪些知识？可以与老师交流一下，也可以与同桌交流一下。

教师在这个过程中，要对学生的回答进行必要的补充与肯定，使学生在脑海中形成关于求解方程这样一个模型。

（设计意图：在总结中，通过学生的说以及教师的补充，学生能够更好地把握等式的性质，在以后的日常生活中会有意识地运用等式的性质模型进行方程的求解。）

（5）教学总结与反思

本节课的教学重点是方程的性质，在教学过程中，笔者主要采用学生自主探究、小组合作交流的教学方式开展教学。在具体的教学过程中，笔者在前一节课的基础上直接导入新课。在自主探究中，笔者通过创设问题情境，借助天平，学生通过直观观察以及小组合作交流自主探索出方程的性质，充分发挥了学生的主体性。在教学设计案例中，由于等式的性质规律是本节课的重点，所以笔者着重对其进行突出。之后笔者设计问题，通过问题的解决，学生既加深了对等式性质的理解，又应用了数学模型，提高了学生的数学应用意识。

（四）第四课时：“实际问题与方程”教学设计及实施

1.教学内容

实际问题与方程。

2.教学目标

（1）知识与技能目标

理解掌握通过建立数学模型解决实际问题的步骤，提高学生的解题能力。

（2）过程与方法目标

学生在自主探究以及小组合作中，分析数量之间的关系，列出方程，解决实际问题。

（3）情感态度与价值观

学生在活动中感受方程与生活的密切联系，体会通过列方程解决实际问题的优势以及数学学习的乐趣。

3.教学重难点分析

（1）教学重点

学生能够正确设出未知数，找出题干中的等量关系，列出方程并进行正确解答。

（2）教学难点

应用方程解决实际问题，体会模型思想。

4.具体教学过程设计

（1）创设情境，引出问题

师：同学们，在前面几节课的学习中，我们学习了用字母表示数、方程的意义、等式的性质以及求解方程，今天这节课我们要将我们在课堂中学习到的这些知识应用到我们的实际生活中去，去解决我们实际生活中的问题。

同学们请看下面这道题：

小明跳远时破纪录了，成绩为4.21米，超过记录0.06米。请问学校原跳远记录是多少米？

预设：学生各抒己见，教师引导学生分析理解问题，培养学生的分析概括能力。

（设计意图：本节课的重点就是列方程解决实际问题，在课伊始，笔者开门见山，借助教材抛出一个学生比较熟悉的生活问题，通过这个问题唤醒前几节课学生的知识经验，为接下来的学习奠定知识基础。）

（2）自主探究，建立模型

引导学生通过方程的建立求解问题。小组合作讨论，提出观点。（猜想假设）

预设：

生1：4.21-0.06=4.15。

生2：x+0.06=4.21。

（建立数学模型）

教师引导学生思考列出方程的依据是什么，借此厘清题干中的等量关系。

接下来进行方程的求解，学生自由讨论方程求解的方法，学生根据讨论结果进行解答。最后教师展示规范的答题步骤，提醒学生进行验证。（求解检验模型）

教师展示解题过程：

解：设原记录为x米。

x+0.06=4.21

x+0.06-0.06=4.21-0.06

x=4.15

答：学校原跳远记录是4.15米。

教师总结：我们将题目中要求的量用x来表示，然后根据题干中的信息找出等量关系，根据等量关系列出方程式，然后进行求解。这样我们的思路会更加清晰，会很容易地解决掉问题，今后我们要多多利用方程解决问题。（确立利用方程解决实际问题的数学模型）

师：白色皮具有20块，比黑色皮具的2倍少4块。问：共有多少块黑色皮？请同学们独立思考，解决问题。想想我们刚才是如何一步一步进行实际问题的解答的。找出题目中的未知量是什么，找出等量关系。（创设问题情境）

学生自由发表见解，教师引导学生分析理解问题，培养学生的抽象概括能力。学生进行小组讨论。（猜想假设）学生在教师的引导下理清题干中的等量关系，列出方程。（建立模型）接着自己尝试解答方程。（求解验证方程）

预设：

生1：（20+4）÷2=12。

生2：2x-4=20。

教师引导学生总结运用模型求解方程的步骤。经过学生多次回答统一后得出：首先我们要读明白题目的意思，找出题目中的未知数，用x来表示；然后找出题目中的数量关系、等量关系，列出方程；利用等式的性质求解方程，检验方程。教师在这个过程中进行必要的补充与总结。

（设计意图：列出方程解决实际问题是本节课的重点，在这个环节中，笔者通过两个问题的设计，使学生在问题解决的过程中感受利用方程解决实际问题的优势。两个问题的设计层层递进，符合学生的心理认知发展。）

（3）应用模型，解决实际问题（模型应用）

师：现在我们独立解决下面两个问题：

①每平方米阔叶林每天制造75g氧气，是每平方米草地每天制造氧气的5倍。每平方米草地能制造多少克氧气？

②共有1428个网球，每5个装一桶，装完后还剩3个，一共装了多少筒？

（设计意图：在这个环节中，笔者主要运用的是课本上的练习题，使学生比较容易接受，通过练习题提高学生的数学应用能力，体会利用方程解决实际问题的优势。）

（4）课堂小结，巩固模型

师：在这节课中，你学到了哪些知识？可以与老师交流一下，也可以与同桌交流一下。

教师在这个过程中，要对学生的回答进行必要的补充与肯定，使学生在脑海中形成运用方程知识解决实际问题的这样一个模型。一定要让学生明白利用方程解决实际问题的优点，学会利用方程解决实际问题的方法。

（5）教学总结与反思

这部分内容相对来说，学生学习起来会有点吃力，笔者在进行教学设计时，主要是借助教材中学生比较熟悉的生活场景中的问题，唤醒学生已有的知识经验，变抽象为熟悉，这样学生接受起来比较容易。在具体的教学过程中，学生在寻找等量关系时会感觉吃力，碰到了一些问题，但是通过习题的做题效果来看，大部分学生掌握了本节课的内容，会使用方程解决实际问题。