基于数学建模的数学广角案例分析及优化

笔者选取人教版数学五年级上册“数学广角”中的“植树问题”作为教学案例。下面是对“植树问题”教学设计的具体阐述。

案例：“植树问题”教学设计

【教材分析】

“植树问题”是学生在日常生活中非常熟悉的事例，本节课研究的是在一条线段上植树，在道路的两端都需要植树。在这一类问题中，让找到题目中的特点，建立数学模型。利用所建模型和找到的规律解答题目。在遇到直接应用已有知识不易解决问题时，需转化其形式，归结为比较容易解决的问题，在此过程中向学生渗透化归方法。课本该部分内容引入学生感兴趣的植树实例，教会学生使用抽象图形解答问题；通过思考、解答、推算等过程，从容易到复杂，了解不同间隔数与棵树之间的数量关系；使用数学模型模拟植树问题并解决，运用到实际生活中。

【学情分析】

五年级的学生以形象思维为主，已基本积累了一定的探索规律的经验和抽象概括知识。初次接触“植树问题”，学生会对此问题感到一些好奇，并产生一定的兴趣。因为小学生的注意力集中时间很短，容易分散精力，教师需设计趣味性的活动引起学生的注意力，在植树节这个熟知的节日中引入主题。

【教学目标】

知识与技能目标：在“画一画”的活动中，创建并学会在道路上植树（两头都栽）的情形中“棵数=间隔数+1”的数学模型。

过程与方法目标：在合作、操作、探究活动中，利用“棵树=间隔数+1”“总长=间隔数×间距”等数量关系解决问题，渗透模型思想、化归思想。

情感、态度与价值观目标：通过数学建模活动，体会数学的趣味；感悟生活与数学的紧密联系，培养热爱数学的情感。

【教学重点与难点】

教学重点：建立并理解“点数=间隔数+1”的数学模型。

教学难点：在实际生活中，创建数学模型，并解决问题。

【教学过程】

“植树问题”教学过程

1.常设情境，感知模型

师：有哪位小朋友知道植树节是什么时候吗？

生：3月12日。

师：种树造林，保护环境，人人有责，在今天的种树活动中，我们大家来看一看。（课件出示问题）

例1：小朋友们在100米长的道路上种小树。要求每两棵树之间的间距为5米，道路两端都要栽。一共要栽多少棵树？

【设计意图】

通过学生生活中所熟知的植树节引入本课的植树问题，创设问题情境，做好模型准备，为新课学习做铺垫。

2.共建模型，探究求解

师：你从这个问题中知道了哪些信息？你能根据以前学过的知识来进行解答吗？可以大胆猜一猜。

生1：道路长度为100米，两棵小树之间的距离是5米，那么一共需要种下100÷5=20（棵）。

生2：我觉得是21棵，因为问题说了两头也要种树，还需要再种一棵树。

【设计意图】

通过学生对问题的结果进行假设，使学生养成分析思考的思维，之后通过探索发现，能更清晰地理解模型。

师：同学们出现了不同的观点，那么结果究竟是多少呢？我们先解决一个简单的问题。我们看一下道路有20米，两端都要植，这时候应该怎么栽呢？我们可以画一画。

投影学生的成果（图4-1）：

图4-1

生：把20米平均分为4段，因此栽5棵。

师：能不能画出25米长的路能栽几棵，同样两端都要栽。

生：我用线段图画起来可以更方便（图4-2），需要把25米长的道路分成一样长地五截，考虑到两头都要种树，那么一共需要种六棵树。

图4-2

【设计意图】

从画图抽象出线段图，然后不画图求解过程，从形象到象。通过分析表格中的数据，使学生找到规律，建立该问题的数学模型。

师：非常好，想到了用线段代替树苗。接下来请你不画图填表格（表4-2）。

表4-2

(www.xing528.com)

师：通过填表，你发现了什么规律？

生：总长÷间距=间隔数。

生：棵数比间隔数多1。

师追问：可以用怎样的一个式子表示？

生：棵树=间隔数+1。

师：谁能说说为什么要“+1”？

生：考虑到两头都要种树，所以最后的树苗数量还需要再加上1。

师：当遇到复杂问题和数据较大的问题时，可先通过简单的数据得到规律，建立数学模型，然后运用规律解决复杂问题。回顾这个问题的解答过程，我们建立了这样一个数学模型：

总长÷间距=间隔数；棵树=间隔数+1。

师：我们继续回到刚才这个题目，你能否用刚才我们一起建立的模型解答。一条道路有20米，两端都要种树，我们总共需要种多少棵小树呢？

生：因为“总长÷间距=间隔数，棵树=间隔数+1”，20÷5=4，4+1=5棵。

【设计意图】

根据创建植树题目的数学模型，进而通过模型对题目解答，更深刻地理解了模型的含义。

3.运用知识，应用模型

师：还记得课堂之初我们提出了一个数学问题，你能否用刚才验证过的模型来求解呢？一起来回顾题目，小朋友们在100米长的道路上种小树。要求每两棵树之间的间距为5米，道路两端都要栽。一共要栽多少棵树？

生：因为“总长÷间距=间隔数，棵树=间隔数+1”，100÷5=20，20+1=21棵。

【设计意图】

利用建立的数学，解决植树节中的实际问题。

师：看来我们生活中另外一道题，你能否也利用模型求解？一条道路长两千米，我们需要在道路上安装路灯，两头都要装上路灯，两个路灯间相隔50米。一共要安装多少盏路灯？

师：小朋友们看了这个题目，有哪些地方需要勾画出来？

生1：因为距离的单位不一样，我们先要换算成一样的单位。

生2：两旁。

师追问：表示什么？

生2：就是两边。

师：怎么样画图表示道路的两头呢？在计算时该怎样体现？

生2：先算出一边的路灯的数量，再乘以2。

2km=2000m

（2000÷50+1）×2=82（盏）

答：一共要安装82盏路灯。

【设计意图】

第二题在街道两旁，隐含了“×2”的问题，对于学生的理解能力提出了更高的要求。难度逐渐增大，小朋友们可以更好地理解，由易到难，体现了数学的趣味性。

4.反馈归纳，完善模型

在这一课的学习后，你又学习到什么和疑问？小伙伴之间相互交流。根据学生回答，强调：

（1）这类存在间隔的许多现象，把这类问题统称为植树问题，学会通过创建数学模型解答疑难，对于两头都要种树的种树情况的数学模型：棵数=间隔数+1。

（2）如果一个数学问题比较复杂，那么我们应该先找到其中包含的简单规律，再把这个规律运用到复杂情况下，最终解答开始的疑问。

【设计意图】

指导学生从多个维度对创建的数学模型进行总结巩固，体会其中的数学模型。

【教学设计分析】

“植树问题”是一种情况较为复杂的问题，但在生活中有许多类似的原型，新课程教材把它安排在五年级上册的“数学广角”中。其教学侧重点是：在解决植树问题的过程中，向学生渗透一种在数学学习上、研究问题上都很重要的数学思想方法——模型思想，借助该内容的教学发展学生的思维，提高学生解决问题的能力。

本节课笔者设计了课本117页例1内容，主要教学“两端都栽”的植树问题。主要根据教学内容的特点，以及学生的实际情况，引导学生积极参与，通过建模教学设计，让学生经历创设情景，感知模型；共建模型，探究求解；运用知识，应用模型；反馈归纳，完善模型这几个数学建模的过程。明确棵数与间隔数之间的关系，通过学生的体验，建构植树问题（两端都种）的模型，再运用模型解决生活中的类似问题。渗透数学建模思想和化归思想。教学中重在让学生体验知识获得的过程，更注重于培养学生运用所学知识，举一反三，解决实际问题的能力。

反思整个教学设计过程，笔者认为以下几方面做得比较好：第一，重视数学模型的建立过程。学习数学的目的是为了应用数学，在应用数学去解决各类实际问题时，建立数学模型是十分关键的一步。建立数学模型的过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程。因此，笔者在教学中设计了“创设情景，感知模型—共建模型，探究求解—运用知识，应用模型—反馈总结，完善模型”的教学流程，意在让学生经历“猜想—建立—验证—应用”这一过程，从而建立“植树问题”数学模型。第二，注重数学思想的渗透。在教学中，笔者直接将例题导入，引导学生用画图方法模拟实际栽树。由于例题的数据较大，因此在模拟实际画图时发生了矛盾，数字太大，不可能全部画下来，或是太麻烦、太浪费时间，就此向学生渗透复杂问题简单化的思想，让学生选择短距离的路用画图的方式得出结果。在这个过程中，学生通过猜想、实验、推理、交流等活动，既培养了数学思想能力，学会了一些解决问题的方法，又逐步形成实事求是的科学态度和精神。第三，关注植树问题模型的拓展和应用。植树问题的模型是现实世界中一类相近事件的放大，它源于生活，又高于生活。所以，在现实中有着广泛的应用价值。为了让学生理解这一建模的意义，笔者做了两方面的工作。一是加强归类，出示生活实例，告诉学生“这些现象的事物间都存在着间隔，把这类问题统称为植树问题”；二是进行变式练习，设计了练习题，引导学生进一步体会现实生活中的许多事件都含有与植树问题相同的数量关系，它们都可以利用植树问题的模型来解决，从而使学生感悟数学建模的重要意义。

反思本课设计，也发现一些不足之处。很多地方是笔者讲授，学生自主探索过程还需突出。例如，在模型建立的过程中，笔者直接告诉学生通过画一画这个方法来寻找棵树和间隔数之间的关系。在教学过程中应突出学生的主体地位，放手让学生去自主发现，会有更多的惊喜和发现。