（一）数学模型思想
提到模型，大家想到的可能更多的是实物模型，是人类根据实物的形状、结构、性能将其进行精简制作而成的“缩小版”实物，其实，还有一种模型是符号模型。符号模型，是指将现实情境进行抽象和简化后形成的用文字、数字、符号、图表、图像表示的用以解决实际问题的关系结构。数学模型就是一种符号模型。数学模型思想则是在现实情境中抽象出数学模型，利用该数学模型能解决类似问题的一种倾向或意识。
新课标指出，模型思想的建立是帮助学生体会和理解数学与外部世界练习的基本途径。在小学数学中数学模型的渗透大概有两种：一种是对既有的数学概念、公式、定理、性质等模型的学习，这种学习更多的是一种理解性的学习，学生能够理解其意义即可；另一种是在解决某一问题中建立数学模型，这种学习更多的是一种探索性的学习，需要学生自己探索解决问题的方法和策略。在小学阶段，教师不仅要注意向学生渗透数学模型思想，还应注意让学生学会如何建立数学模型。数学模型思想衍生出很多数学思想，主要有方程思想、随机思想、优化思想等。
1.方程思想
方程思想是指利用方程来描述数学中的数量关系，变逆向思维为顺向思维的一种思维方式。方程思想的核心是用数学符号来代替未知量，并根据问题中的等量关系式来建立方程模型。方程思想是小学阶段的重要数学思想，小学五年级开始涉及方程的知识。在接触方程之前，学生主要用算术思维来解决问题，而方程思想作为一种代数思维，学生在学习和理解的过程中会有一定困难。所以，在小学阶段，关于方程思想的教学最重要的是要让学生体会用方程解决问题的优越性，理解方程的意义，会利用等式的性质解方程，主要培养学生的代数思维和利用方程解决问题的意识。
2.函数思想
设集合A、B是两个非空集合，如果按照某种确定的对应关系f，对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一一个确定的数y与之对应，那么y就是x的函数。函数思想强调两个变量之间一一对应的关系，自变量随着因变量的变化而变化，其核心是根据自变量和因变量之间的数量关系建立函数模型。
在小学阶段，虽然没有学习函数的概念，但是对于函数思想的渗透是一直存在的，比如一年级探索一个加数不变和随着另一个加数的变化而变化的规律，实际就是函数中一一对应思想的渗透；六年级学习正比例关系和反比例关系，则是对函数思想更进一步的渗透。在小学阶段，关于函数思想的学习，旨在让学生通过探索问题中的数量关系和变化规律来感悟函数中一一对应的思想。
3.统计思想
统计，多指对数据的统计，尤其在当今大数据时代更离不开统计。统计思想从局部推断整体的思想，是关于如何收集数据、表示数据、分析数据，如何解释统计结果以及在什么情况下可以应用于实际生活的基本概念和原理。
在小学阶段对于统计思想的渗透主要体现在两个方面：一是对统计知识的学习，包括对统计表、条形统计图、折线统计图、扇形统计图等意义、特点等的学习；二是培养学生读图和分析数据的能力以及利用信息解决问题的能力。其中，最重要的是后者，因此在统计思想的渗透方面要更加注重让学生经历统计的过程，认识统计的作用和价值，学会用数据说话。
4.优化思想
优化思想，是指在众多方案中尝试、选择最优方案的思维过程，以最少的时间取得最大的效益。优化思想是小学阶段一个非常重要的思想。
在小学阶段，优化思想的体现是初步的，主要体现在以下四个方面：（1）在多样化的计算和解题方法中，比较不同方法的特点和优劣；（2）解决类似于最省钱、最省时间等方面的实际问题；（3）合理安排时间，在较短的时间内，尽可能地做更多的事情；（4）体会田忌赛马故事中蕴含的优化思想。
由于小学生的思维水平有限，因此优化思想的渗透旨在培养学生选择优秀方案的意识，学会合理安排时间。
（二）数学推理思想
推理，是指根据一个或一些已知，推出一个新的判断。数学推理，则是根据一个或一些数学命题，推出一个新的数学命题的思维过程。推理包括演绎推理与合情推理。演绎推理思想，是指根据某类事物全部具备某种性质，推断该类事物中的部分事物也具备同样性质的思维过程，演绎推理思想的实质是根据一般原理对特殊情况做出判断。合情推理，是指从已有的事实出发，凭借直觉和经验，通过归纳和类比等推测某些结果。因此，合情推理又包括归纳推理和类比推理。其中，归纳推理，是指依据一类事物中部分对象的相同性质推出该类事物都具有这种性质的一般性结论的推理过程，是一个由特殊到一般的过程。在小学数学中，归纳推理主要体现在法则的归纳、性质的归纳、公式的归纳、定律的归纳以及规律的归纳中。类比推理思想，是指依据两类事物的相似性，用一类事物的性质推出另一类事物的性质的思维过程，是一个从特殊到特殊的方法。在小学数学中，类比推理最明显地体现在整数、分数、小数之间的类比，分数小数的性质、运算及规律都可以通过整数的性质、运算和规律类比而来。
新课标提出，推理能力的发展要贯穿整个数学学习的过程中，推理能力的形成和提高是一个长期的、循序渐进的过程。小学阶段的学生，思维和认知发展水平有限，在推理思想的渗透中不应该过于注重推理的形式，而应将重点放在培养学生进行合理的、有条理的、思考的意识和能力。
数学推理思想在数学中无处不在，数学运算定律、面积计算公式、数学规律等的提出都离不开数学推理思想。数学推理思想衍生出很多数学思想，主要包括数学数形结合思想、转化思想和极限思想。
1.数形结合思想
数形结合思想，是指根据数与形之间的关系来解决问题的思想，包括“以数解形”和“以形助数”两个方面，即根据数的特点来推出形的本质，根据形的表象来推出数的奥秘。(www.xing528.com)
在小学数学中，数形结合思想主要体现在两个方面：一方面，用形的直观来认识、理解复杂的数和数量关系，比如利用线段图来解决相遇问题、追击问题、工程问题等，使复杂的问题直观化；另一方面，用数来解决形的问题，比如用数量关系式来表示正比例和反比例图像，通过计算三角形的各内角的度数来判断三角形的形状。数学结合是小学阶段学习数学的重要方法，因此在渗透数形结合思想的过程中要让学生体会数形结合思想的重要意义，并能够灵活运用数形结合思想来解决复杂的问题。
2.转化思想
转化思想，是指在解决复杂问题时，利用已有的知识不能解决，则先将其转化成比较容易解决的问题，最终使原问题得到解决的思维过程。学生在学习新知识时，很多时候可以将其转化为已有的知识来理解。比如，求平面图形的面积，学生最早接触的是长方形和正方形的面积，后来学习平行四边形的面积可以将其转化为长方形来解决，再后来学习的梯形、三角形、圆的面积都是在将其转化为平行四边形的基础上推导而来。
转化思想的实质就是化繁为简、化难为易、化未知为已知，是学生探索新知、分析问题和解决问题的重要法宝，因此在转化思想的渗透中要鼓励学生自主探索、鼓励创新，培养学生化繁为简、化难为易、化未知为已知的意识。
3.极限思想
极限思想，是指用无限逼近的方式来研究数量关系的变化趋势的思想，从有限中认识无限、从近似中认识精确、从量变中认识质变。在小学数学中，极限思想体现在“圆的面积计算”中。在探索圆的面积计算公式时，我们通常用的方法是将圆等分成若干偶数份，将其拼成一个长方形，等分的份数越多，拼成的越接近长方形，因此圆的面积计算公式可以由长方形的面积计算公式推导而来，这也是运用了极限的思想。
极限的思想是比较抽象的，因此在小学数学中渗透极限思想时最重要的是要让学生体会无限，辩证地看待有限和无限，而不是让学生识记相关的概念或者规律。
（三）数学抽象思想
抽象是人类思维活动的一种方式，指在思维活动中抽取出事物的本质属性，撇开非本质属性。这种抽象一定意义上就是我们经常所说的“透过现象看本质”。数学抽象，是指从包含数量关系和空间形式的数学材料中抽取出共同的本质属性，然后上升到一般的层次，形成数学理论的过程。数学抽象在数学中无处不在。数学研究对象就是抽象而来，比如数学概念、数学公式、数学性质和数学规律的得出，都是抽象的结果。同时，数学活动本身也是一种抽象活动，从数学问题中抽象出问题的本质，利用数学知识解决问题。
数学抽象思想，则是数学抽象活动的结果，是一种对数学活动的理性认识。在数学学习的过程中，如果运用抽象思想，会获得对数学知识本质的认识和理解，同时也会促进我们抽象思维能力的发展。数学抽象思想又派生出多种数学思想，比如符号化思想、分类思想、集合思想等。
1.符号化思想
新课标指出，符号意识主要是指理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律，知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。因此，符号化思想也是一种数学抽象思想，数学符号便是数学抽象的结果。在数学中常运用数量符号、运算符号、关系符号、结合符号来表示数、数量关系与变化规律。
在小学数学中，符号化思想主要是指对用符号表示的数、数量关系与变化规律的理解和运用，即理解各种数学符号表示的意义，能够运用数学符号来表示数量关系和数学问题，并能利用符号进行推理和运算。
2.分类思想
新课标在总目标中提出，学生要能够运用数学的思维方式进行思考，这种思考是有顺序的、有层次的、全面的、有逻辑的思考。分类思想就是这样一种思维方式，是学生面对复杂的数学问题时，按照一定的标准，将复杂的问题进行简化、分类、逐类讨论，最后进行整合，使复杂的问题得以解决的意识。严格来讲，分类思想包括两种情况：一是对概念的分类，概念分类需要学生明确分类事物的属性和特点；另一种是通常所说的分情况讨论，也是一般意义的分类思想。
在小学数学中，分类思想既有对概念的分类，比如数可以分为正数、负数和0，三角形按角可以分为直角三角形、锐角三角形和钝角三角形；也有对复杂问题的分类讨论，比如植树问题分为沿直线植树和沿封闭曲线植树，沿直线植树又分为两端都栽、只栽一端和两端都不栽。向学生渗透分类思想的目的，在于让学生能够体会分类的作用和目的，掌握分类的方法，培养学生有顺序、有层次、全面、有逻辑的思考问题的能力。
3.集合思想
集合思想，是指在思考问题的过程中，有意识地把具有某一共同性质的事物看作一个整体，这一共同性质是有明确标准的、是确定的。
在小学数学中，集合思想贯彻始终，不同年级、不同知识领域都有所渗透。比如三角形和四边形的分类、公因数和公倍数部分都对集合思想有所涉及。集合的知识并不是小学阶段必须掌握的内容，向学生渗透集合思想，旨在让学生体会利用集合圈解决问题直观、清晰的特点，培养学生利用集合思想思考问题、解决问题的意识。
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