培养小学生数学建模思想的有效策略

学会用数学的思想和方法来观察周围的社会生活，解决日常生活中的问题，同时能用数学的语言表达和交流自己的想法、过程和结果，这已经成为数学素养的一个重要内涵。重视数学的思想和方法，是当今世界范围内小学数学课程改革的一个基本方向。

模型思想是小学数学学习的基本素质之一。从宏观上讲，构建数学模型的过程就是将现实生活或问题情境数学化的过程。数学化，就是用数学的眼光认识和处理周围的事物或数学问题，这是数学学习的最高境界，也是学生数学素养的基本要求。数学模型思想体现在数学学习的方方面面，包括数学课程内容、教学实例以及学生的数学探究活动。可以说，模型思想是其他数学思想和方法的基础。小学生的思维处于以具体运算为主并向形式运算过渡的阶段，这种认知水平的特点是：儿童能够在同具体事物相联系的情况下进行逻辑运算。模型思想的本质是从具体情境中抽象出数学关系，而且模型教学的初始阶段就是创设问题情境。因此，模型思想及模型教学符合学生的认知水平，同时学生的认知水平也要求采用模型教学的方式，模型思想与小学生的认知水平和学习特点存在天然的契合点，在小学阶段培养学生的模型思想是可行的，而且是必要的。模型教学的特殊性决定了模型教学方式在小学数学教学中占据十分重要的地位。尽管模型思想在小学阶段不是学生重点训练的素质要求，但在数学教学中有意识地渗透模型思想是非常有必要的。在小学阶段培养学生建立初步的模型思想和相应的建模能力，对于提高学生学习数学的兴趣和应用意识、深化小学数学课程改革、全面提高教育质量具有重要意义。以下是小学数学建模思想培养的具体策略。

（一）重视数学问题情境的创设

新课标强调，在小学阶段的数学教学中应结合具体情境，在具体情境中认识数学的基本概念。数学模型思想的本质是从现实数学问题或现象中抽象出普适性的数学模型，进而应用数学模型解决实际问题。小学数学绝大部分课程内容可用构建数学模型的方式进行教学，因此，教师在数学教学中应有意识地为学生创设问题的情境。创设情境对教师的素质提出了较高的要求，创设情境是否合理，关系到模型构建的成败。良好的问题情境必须满足以下两个条件：

第一，与学生的生活经验密切相关。由于学生认知思维的形象性，小学数学教学应充分利用学生的生活经验及生活环境，联系并符合学生生活实际的问题情境，一方面学生较为熟悉，另一方面便于学生理解。数学知识归根到底是从生活中来的，从最简单的自然数到复杂的函数关系，都可以在生活中找到它们的原型。因此，创设问题情境实际上就是将数学模型还原的过程。第二，有利于学生发现问题。问题情境不是随意化的、无目的的现场观察或生活片段，而是蕴藏一定的结构。认知心理学认为，一个问题包括三个部分：已知条件、目标和算子。已知条件是组成问题初始状态的要求或限制因素；目标是想要得到的结果或答案；算子是把问题的初始状态转变为目标状态的步骤或程序。教师为学生创设的情境必须有利于激发学生的好奇心和探究意识，并且有利于学生提出假设，最终形成有价值的问题。从创设情境到提出假设性的问题，这是构建数学模型最为关键的环节，小学数学教师必须具备这种教学思想。

（二）重视教学辅助工具的运用

学生在构建数学模型的过程中运用的表征方式主要有：符号表征、列表表征和图解表征，其中符号表征是最常用也是最基本的表征方式。数学模型最终要以符号的形式固定下来，确立符号模型需要运用多种辅助教学工具。笔者总结出以下两种教学辅助工具：

第一，列表、图形、图像。列表表征和图解表征有利于学生理解问题的情境，探究问题中隐含的数学关系。在确立符号模型的过程中，需要发挥其他表征方式的辅助作用。列表法是探索问题答案的有效途径，用于对多种解题假设的尝试，虽然列表法比较费时，但它便于直接得出问题的答案。图形法是分析几何关系的直观工具。小学阶段学习的几何知识主要是平面几何，其中矩形和三角形是两种基本几何图形，学生学习其他复杂的几何图形时都可以还原为三角形和矩形。新课标强调，学生要掌握图形与位置的关系，这是在高年级学习立体几何的基础，同时也培养了学生的空间想象能力。在解决特定的几何问题时，教师需将问题情境转化为几何图形并呈现出来，这样学生就更容易联想已学习的几何知识，如“确定起跑线”问题。图像法是发现数量关系的基本手段。学生在学习数学中认识的图像主要是坐标系，坐标系不仅是分析位置关系的参照体系，也是认识函数关系的基本工具。六年级学习的正反比例关系实际上就是一次函数的基本模型，学生需初步掌握用图像表示函数关系的方法。

第二，实物教具。实物教具是帮助学生构建数学模型的有效教学手段，其本质上是反映问题要素基本特征的直观模型。在教学资源充足的情况下，教师应尽量使用多种教学工具辅助构建数学模型。人教版小学数学教材中的教学内容使用了多种实物教具，如方格纸和直尺有助于学生理解分数和小数，图形的平移、旋转和轴对称知识；天平有助于学生建构简易方程和解决按重量不等“找次品”的问题。

（三）重视对课程内容的研究

以人教版小学数学教材为例，笔者对教材中的内容、习题、案例做大量的分析和研究之后发现，这里的教材内容，特指每单元或每节课常规教学的课程知识。课程知识只是客观的教学内容，而如何更好地让学生理解和应用数学知识就需要发挥教师的主观能动性，教师应当花费较多的精力去研究如何以更好的模型教学方式提高教学的效率和效果。笔者认为，教师首先要对课程内容和习题是否适合于模型教学以及如何进行模型教学做充分的研究。

从对课程内容的分析来看，小学数学绝大部分课程内容可理解为数学模型，并渗透了模型思想。对课程内容的研究是教师进行模型教学的准备工作，也是教师教学设计的基本任务。教师研究的课程内容包括教材中的常规教学知识、课程标准中的内容标准、拓展性课程资源等。教师研究课程内容的方式主要有以下几点：

1.分析课程内容是否适合于模型教学

教师首先需熟悉数学教材中的知识点和课程标准中的内容要求，然后总结和整理包含数学模型的知识和活动。教师要能够识别并揭示知识的数学实质及其体现的模型思想，同时要对学生的认知水平和认知方式有准确的把握。教材的编排在整体上应体现逐级递进、螺旋上升的原则，即课程目标和内容既要有随着学生的年龄和认知水平的增长而逐步提升的空间，即要有相对稳定的学习对象及过渡性要求。教师应将课程内容与学生的认知特点相结合，针对不同阶段的学生采用不同的模型教学方式。

2.分析教材中知识的呈现方式(www.xing528.com)

人教版数学教材在知识的呈现方式上比较符合学生的认知规律，即体现出从现实生活中的问题情境到抽象出数学符号的过程，这一过程与建模教学的过程模式是相吻合的。教师应从教材知识的呈现方式中学习和借鉴其中的模型思想和方法，并尝试模仿教材中的知识呈现方式进行模型教学。

3.利用教材中适合模型教学的拓展性课程资源

数学教材中除了常规教学的知识以外，还有大量的拓展性课程资源，这些课程资源有的是学生自主学习和探究的内容或活动，有的是在教师的引导下实施的综合与实践活动。其中，某些课程资源包含了数学模型，需要教师加以利用。有些数学文化渗透了模型思想，教师不能因为这些内容不是正式的教学知识而忽视了对其的介绍和讲解，而应该引导学生探究其中的数学规律和数学之美。同时，教材中有探究性质的数学问题、活动和游戏渗透了模型思想。人教版教材中每册都有“数学广角”版块，每一个“数学广角”是一个主题活动，重在考查学生的数学思考及问题解决能力。教材中与教学内容相关的数学探究活动体现了模型思想。例如，五年级上册中“量一量，找规律”探究活动体现了方程模型；六年级上册“确定起跑线”探究活动实质上是同心圆周长差的数学模型；六年级下册“自行车里的数学”探究活动体现的是比例关系模型。教材中有些“阅读资料”、数学游戏体现了模型思想。例如，六年级下册在“阅读资料”中介绍了从兔子生产规律中抽象出的“斐波那契数列”模型；概率知识模型适宜于采用游戏的方式让学生体验某种现象发生可能性的大小。

4.自主开发优质高效的模型教学方式

研究和学习教材中知识的呈现方式只是教师教学设计的初步任务，在此基础上自主开发优质高效的模型教学方式，才能真正体现出教师的教学技能。第一，对于教材中渗透模型思想的课程内容和探究活动，教师应严格贯彻实施教学。第二，在借鉴和模仿的基础上，教师应选择或开发教学实例，创造性地采用新的模型教学方式，引导学生建立模型和求解模型。优质高效的模型教学方式能够大幅度提高教学效果，教师应加强这方面的训练。

（四）重视采用自主、合作与探究的学习方式

义务教育新课标强调在各科教学中倡导自主、合作、探究的学习方式，这是新课改实施素质教育的必然要求。基础教育课程改革着力强调转变学习方式，要求发挥教师的主导作用，使学生成为学习的主体。自主、合作与探究是真正以学生为主体的学习方式，它有利于学生在自主探索、合作交流中掌握学科的基础知识，形成学科的基本技能，体验知识的发现过程，增强问题解决的能力。

所谓自主学习，是指学生在教师的指导下，根据自身条件和需要制订并完成具体学习目标的学习模式。自主学习突出了学生的主动性，使学生摆脱了被动接受的地位，它常表现为学生自定目标、自主探索、自我评价和自我调整。所谓合作学习，是指学生在集体中以分工和交流的形式进行的学习方式。合作学习有助于增强学生的合作意识和交往能力。所谓探究学习，是指学生在真实的问题情境中，通过提出假设、验证假设的探索性活动，感受和体验知识产生过程的一种学习方式。探究学习有助于提高学生分析问题和解决问题的实践能力。自主、合作、探究三种学习方式是相辅相成的。自主学习、独立思考是合作探究的基础；合作探究是自主学习、独立思考的展示、交流、互补、吸收与接纳的过程。从某种程度上说，探究学习集成了自主学习与合作学习。

小学数学模型教学应采用自主、合作、探究的学习方式。首先，教师主导，学生主体。教师不应直接讲解数学知识隐含的数学模型，而应从问题情境出发，逐渐引导学生构建数学模型，整个教学过程始终以学生的自主探索为主。其次，小组学习，分工合作。小组学习是提高教学效果的重要途径。依靠学生个体的思维往往不能完成对复杂数学问题的分析，而采用小组学习的方式就能大大提高问题解决的效率。在问题的表征阶段，学生通过小组讨论，发现彼此思考问题的角度、优点和不足，在集思广益的基础上取得对问题一致的理解，进而共同提出问题的假设；在模型的建立和求解阶段，学生通过分工合作，共同探索问题的关系和规律。合作学习不仅包括学生之间的合作，也包括教师与学生之间的合作。教师与学生的合作主要表现在：教师以平等、尊重的态度鼓励学生积极参与教学活动，教师与学生在共同探索问题的过程中一起分享成功与挫折的学习体验。最后，创设情境，探究发现。探究学习的前提是教师为学生创设真实的问题情境。教师在创设情境之后，逐步启发学生思考，引导学生自己提出有价值的问题，进而发现问题的规律或模型。可以认为，探究学习类似于布鲁纳提出的“科学家式”的发现学习。

（五）重视采用多元化和多样化的评价形式

2001年，我国《基础教育课程改革纲要（试行）》明确提出对课程评价的改革意见，即改变课程评价过分强调甄别与选拔的功能，发挥评价促进学生发展、教师提高和改进教学实践的功能。2011年，《数学新课标》再次详细提出了数学课程评价的实施建议。

第一，在评价目的和评价内容上突出学生学习数学的过程与方法、情感与态度。这正是三维教学目标的体现。模型教学的目的并不是教授给学生一定的数学知识并使学生机械地记忆知识，而是让学生体验发现数学知识本质和规律的过程，并且在这一过程中培养学生的数学思维能力。例如，通过成长记录的方式，使学生记录和反思学习数学的过程。此外，对情感和态度的培养也是小学数学教学中努力倡导的课程目标。小学数学教学应激发学生形成积极的数学情感，塑造健康向上的学习态度。例如，学习数学的兴趣和自信心、克服困难的勇气、与同伴和教师的合作与交流，等等。

第二，在评价方式和评价手段上突出形成性评价和表现性评价。传统的纸笔测验或单一的总结性评价已不能适应现代教育对学生素质考查的要求，应采用多样化的评价方式，凸显对学生学习过程的考查。传统的总结性评价只能以书而测验的方式考查学生在一段时期之后对知识的掌握情况，不能反映学生学习的过程性素质。形成性评价和表现性评价就是区别于总结性评价的评价方式，它强调对学生学习过程中能力表现和思想方法的评价。形成性评价和表现性评价的目的都是促进学生的发展，而不是过分强调甄别与选拔。其中，表现性评价建立在科学、具体、可操作的学科能力表现标准的基础之上，高质量的表现标准为评价提供了更直接、更具体的依据。具体来说，教师可采用课堂观察、课后访谈、日头测验、活动报告、成长记录等形式考查学生在数学探究活动中表现出的模型思想和建模能力。

第三，在评价主体上突出多元主体共同参与。现代课程评价理念认为，教师不是唯一的评价主体。事实上，与学生的学习行为密切相关的个体或群体都可以作为评价者，课程评价应改变教师作为评价者的“独大”局面，让更多的评价主体参与到对学生的评价中，这就是评价主体的多元化。多元化的评价主体包括学生的自我评价、学生间相互评价、家长评价、校长评价、社区人士评价等。其中，学生的自我评价和相互评价是我国课程改革积极尝试的一种评价形式。例如，在一个单元学习结束时，教师引导学生用图表、卡片等形式设计一个自我“学习小结”，或者在小组活动结束后设计“成果展示与交流”环节，考查学生对学习内容的掌握情况和学习过程的参与程度，以及学生间的合作交流意识。学生的自我评价和相互评价有利于学生反思自身的不足，发现别人值得借鉴的经验，提高学生参与学习活动的意识和能力。总之，这种评价方式能够真实反映学生的学习情况。模型教学一般以探究活动的方式呈现，在活动过程中要求学生分工与合作，有时需在校外开展活动，因而在评价时就需要多元主体共同参与评价。