用尺规作正五边形的方法详解

材料来源：

上海教育出版社《九年义务教育课本数学九年级第二学期》。

知识平台：

正多边形与圆。

拓展意义：

学生知道了利用等分圆周画正三角形、正四边形、正六边形的方法核心都是利用正多边形的中心角和圆心角之间的关系来搭建桥梁。在生活中正五边形是比较简单又常见的图形。能否尝试用尺规作正五边形？通过让学生先自我思考操作再阅读借鉴理解他人经验的拓展活动，加深了对作图技能的训练，培养了学生由此及彼的逻辑思维能力，引导学生更多地了解了数学知识的实践作用。

活动建议：

活动一和活动二可在课堂上组织学生独立思考（教师引导），以学生讨论交流相结合的形式开展，注重过程体验。活动三和活动四有一定的难度，建议引导部分学有余力的学生组成学习小组利用课余时间思考论证。

活动方案：

活动一：思考利用尺规作正五边形的数学理论基础

利用等分圆周画正三角形、正四边形、正六边形的方法核心是利用正多边形的中心角和圆心角之间的关系来搭建桥梁。因为正五边形的中心角为72°，不是一个特殊角，很难实现，但36°，72°，72°是黄金三角形，如果能在圆内尺规作图作出以36°为中心角的正十边形，那么正五边形也就构造出来了。所以这个问题就转化为如何在圆内构造出以36°为顶角的黄金三角形。

黄金三角形的底与腰的长度比为，只要作出一个等腰三角形的底边长为 ，腰长为2的等腰三角形，可以通过构造直角三角形实现。

活动二：用尺规作正五边形

图1

第1步：利用无刻度尺取单位长度1（图1）。

第2步：构造（图2）。

（1）在射线AB上截取AC=CD=1，则AD=2。

（2）过点D作ED⊥AB，并截取FD=1，则AF=

第3步：构造（图2）。

以点F为圆心，FD长为半径作弧，交线段AF于点G，则AG=

作线段AG的垂直平分线，交AG于点H，则

第4步：构造36°，72°，72°的黄金三角形（图3）。

以点O为圆心，单位1为半径长画圆⊙O，并作半径OI。

以I为圆心，AH长为半径作弧，交⊙O于点J，则三角形IJO为所求黄金三角形，J为圆周的十等分点之一。

第5步：构造正五边形（图3）。

以J为圆心，AH长为半径作弧，交⊙O于点K，则IK为正五边形的边长。

以K为圆心，IK长为半径作弧，交⊙O于点L。

如此，再截取点M，N；(www.xing528.com)

顺次联结IK，KL，LM，MN，NI。

则五边形IKLMN为所作正五边形。

图2

图3

活动三：阅读上海教育出版社《九年义务教育课本九年级第二学期》第37页

阅读《怎样用尺规作正五边形》，主要内容如下：

正五边形的尺规作法还可以补充如下方法：（图4）

作⊙O的两条互相垂直的直径PQ和AF；

取半径OP的中点M，再以M为圆心、MA为半径作弧，和半径OQ相交于点N，则AN为⊙O的内接正五边形的边长；

以点A为圆心、AN为半径作弧，与⊙O相截，得交点B。继续以点B为圆心、AN为半径作弧，与⊙O再相截，如此连续截3次，依次分点C、D、E；

顺次联结AB，BC，CD，DE，EA，则五边形ABCDE为正五形。

图4

活动四：阅读材料中介绍的方法合理吗，为什么？

以下证明方法可以在学生了解了“正弦定理”“二倍角公式”之后进行补充。

在图4中，假设圆的半径为AO=R，则：

在Rt△AON中，AN2=AO2+ON2=AO2+（MN-OM）2

证明：圆内接正五边形的边长为

如图5，过点O作AB边的垂线，因为ABCDE是圆内接正五边形，所以AB=2AH=2AOsin∠AOH=2AOsin36°=

证明：

如图6，构造黄金三角形ABC，并作∠ABC的平分线，交边AC于点D，易证：△ABC∽△BCD。所以

假设BC=a，AB=AC=b，则：又因为AD=BD=BC=a。

所以：整理可得：ab=b2-a2，即解得：

由正弦定理可知：解得：

图5

图6

活动小结：

本课是在教材例题“尺规作圆的内接正六边形”基础上拓展用尺规作圆的内接正五边形。因为学生基础知识扎实，在课堂上容易化归生成活动一和活动二的方法。再引导学生阅读教材介绍的作图法（从学生现有的知识出发，很难论证），并给予适当的引导，活动三和活动四就能被部分学优生理解并掌握。