自主研究三角形五心的性质及其部分特征

材料来源：

上海教育出版社《九年义务教育课本数学九年级第二学期》。

知识平台：

三角形的重心、外心、内心基础概念。

拓展意义：

三角形的五心（垂心、重心、内心、外心、旁心）是三角形问题的核心。三角形的很多性质都是在五心的基础上推导出来的。三角形的五心有很多的性质，在学生习得了三角形的重心、外心、内心等相关知识之后，引导学生自主探究三角形重心、外心、内心等其他重要定理，并拓展了解垂心和旁心的概念与性质，对有一定数学学习能力的学生来说不仅拓宽了知识面，也拓展了数学思维。

活动建议：

组织有兴趣的学生分组进行活动，独立思考，注重过程体验。这项活动有一定的难度，为使学生不会感到束手无策，教师要对解决问题的思路进行了提示。课堂上学生交流分享，掌握到了解程度即可。

活动方案：

活动一：教师介绍“五心歌”

三角形“五心歌”

三角形有五颗心，五心性质很重要，

重、垂、内、外和旁心，认真掌握莫混淆。

重　心

三条中线定相交，交点位置真奇巧，

交点命名为“重心”，重心性质要明了。

重心分割中线段，数段之比听分晓，

长短之比二比一，灵活运用掌握好。

垂　心

三角形上作三高，三高必于垂心交，

高线分割三角形，出现直角三对整。

直角三角形有十二，构成六对相似形，

四点共圆图中有，细心分析可找清。

内　心

三角对应三顶点，角角都有平分线，

三线相交定共点，叫做“内心”有根源。

点至三边均等距，可作三角形内切圆，

此圆圆心称“内心”，如此定义理当然。

外　心

三角形有六元素，三个内角和三边。

若作三边中垂线，三线相交共一点。

此点定义为“外心”，用它可作外接圆。

“内心”“外心”莫记混，“内切”“外接”是关键。

重心是中线交点，内心是角平分线交点（或内切圆的圆心），

外心是中垂线交点（或外接圆的圆心），垂心是高线交点，

此称三角形的四心。

还有一个心叫旁心：外角平分线的交点（有3个），或旁切圆的圆心。

旁　心

三角形有三内角，尚有外角两个三，

三对外角平分线，两两相交有一点，

点点名曰“旁心”，只因能作旁切圆。

只有正三角形才有中心，这时重心、内心、外心、垂心，四心合一。

活动二：学生分小组，解读“五心歌”，每个小组选择一条性质数学论证，准备PPT，讲解交流

探究1：三角形重心性质的探究。

定义：三角形三条边的中线的交点。

性质：在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（x1，y1）、B（x2，y2），C（x3，y3），那么重心O的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其坐标为

图1

学生论证：设三点为A（x1，y1）、B（x2，y2），C（x3，y3），重心坐标（xm，ym）。求xm。

如图1，任取两点（不妨设为A和B），则重心在以AB为底的中线上。

AB中点横坐标为，重心在中线距AB中点 处，

故重心横坐标为

同理：

探究2：三角形外心的探究。

定义：三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形外接圆的圆心也就是三角形三边垂直平分线的交点。(www.xing528.com)

性质：如图2，G是△ABC的外心，那么∠GAC+∠B=90°。

证明：如图2所示，延长AG与圆交于P。

∵　A、C、B、P四点共圆，

∴　∠P=∠B。

∵　∠P+∠GAC=90°，

∴　∠GAC+∠B=90°。

图2

探究3：三角形内心的探究。

定义：在三角形中，三个内角的三条角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心，这个点也是这个三角形内切圆的圆心。

图3

性质：设三角形的外接圆半径为R，内切圆半径为r，外心与内心的距离为d，则d2=R2-2Rr（欧拉定理）。

如图3，设OI=d，IG=r，OD=R。

∵　R2-d2=(R+d)·(R-d)=ID·IF，

又　∵　弦CE与弦DF相交于点I，

∴　ID·IF=IE·IC，　∴　R2-d2=IE·IC。

∵　点I是内心，

∴　IG⊥BC，　∴　∠IGC=90°。

∵　EH是外接圆的直径，

∴　∠EBH=90°，　∴　∠IGC=∠EBH=90°。

∵　∠EHB和∠ECB对应同一条弦BE。

∴　∠EHB=∠ECB，　∴△IGC∽△EBH。

∴　IC∶EH=IG∶BE。

∴　IC∶2R=r∶BE，∴　2Rr=BE·IC。

∵　∠EBA和∠ECA对应同一条弦AE，

∴　∠EBA=∠ECA。

又∵　点I是内心，

探究4：三角形垂心的探究。

定义：三角形的三条高或其延长线相交于一点，这个点称为三角形的垂心。

性质：三角形两条高的交点就是三角形的垂心。

证明：如图4，作BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，且BE交CF于点H，连接AH并延长交BC于点D。

证明AD⊥BC即可。

因为CF⊥AB，BE⊥AC，

所以四边形BFEC为圆内接四边形。

四边形AFHE为圆内接四边形。

所以∠FAH=∠FEH=∠FCB。

由∠FAH=∠FCB，∠ABD=∠CBF，

△ABD∽△CBF。

图4

所以∠ADB=∠CFB=90°。

即AD⊥BC。

探究5：三角形旁心的探究。

定义：三角形旁切圆的圆心，简称为三角形旁心，它是三角形一个内角的平分线和其他两个内角的外角平分线的交点。

性质：旁心于半周长（P）形影不离。

求证：AE=AF=P△ABC（△ABC的周长的一半）

图5

如图5，IA是△ABC的旁心，作IAE垂直于AB于E，IAF垂直于AC于F，IAD垂直于BC于D。

易得：BE=BD，CF=CD，AE=AF，

所以AE+AF=（AB+BD）+（AC+CD）=AB+BC+AC=C△ABC。

故AE=AF=P△ABC。

活动三：以小组为单位，学生制作PPT，交流探究成果，展示论证过程，教师补充指导（略）

活动小结：

三角形五心性质探究比较适合作为课堂教学的拓展，既有一定的难度，又可以人人参与其中可将其以团队形式在课间进行，利用上课时间进行小组展示。在九年级学生已经掌握一定几何知识的前提下，对一个他们已经知道的知识点进行探究，既强化其几何能力，又在一定程度上锻炼了其自主探究、迎难而上的学习品质。本文是三角形五心研究的开始。教师可以鼓励学生更加积极地探索三角形五心的其他性质。