抛物线图形变换的研究

材料来源：

上海科技教育出版社《初中数学同步学习与辅导九年级》。

知识平台：

二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像和性质、直角坐标系内点的运动、图形的运动等基础知识。

拓展意义：

在学生熟练掌握图形的运动变换、直角坐标系内点的运动等基础知识的背景下，引导学生动手动脑探索抛物线的图形变换规律，得到抛物线的平移、旋转、对称只改变图形的位置，不改变大小和形状这一结论，并且能归结出抛物线的三种图形变换实质为抛物线的顶点在直角坐标系内点的运动变换这一结论，是基础知识运用的提升。在探究的过程中加深了学生对“数形结合”数学思想的体会，提高了学生观察问题、分析问题和总结规律的能力。

活动建议：

采用教师边提问边引导学生探索论证的教学模式进行。以学生整体作为参与对象，课堂上学生和教师沟通互动，其他学生参与补充互动的方式进行。

活动方案：

活动一：探究抛物线的平移和点的平移之间的关系

1.请画出抛物线y=x2+2x+3在直角坐标系中的大致图像。

2.在同一直角坐标系内画出抛物线y=x2+2x+3沿着x轴的正半轴，向右平移3个单位的大致图像。

3.观察两幅图，说说你的发现。

学生总结：抛物线的开口方向、大小形状不变，顶点位置和对称轴位置改变即顶点坐标改变。

4.请写出抛物线y=2x2+4x-3向右平移3个单位，再向上平移1个单位，得到新的抛物线的解析式。

学生总结：抛物线的平移中，其关键是顶点的确定，顶点坐标的确定直接影响到解析式的确定。如果解析式是一般式的，可先化为顶点式进行变化，然后再还原成一般式。

抛物线y=2x2+4x-3化为顶点式则是y=2（x+1）2-5，向右平移3个单位，再向上平移1个单位后得y=2（x-2）2-4，化为一般式就是y=2x2-8x+4。

活动二：探究抛物线关于坐标轴对称和点关于坐标轴对称之间的关系

1.在同一直角坐标系内画出抛物线y=x2+2x+3关于x轴的对称图形，总结图形特点，并尝试写出解析式。

学生总结：抛物线y=x2+2x+3关于x轴的对称图形的形状和大小没有发生改变，开口方向由开口向上变为开口向下，所以先化为顶点式y=（x+1）2+2，顶点为（-1，2），然后确定关于x轴对称后的顶点为（-1，-2），再根据对称后的开口方向改变，可得对称后的抛物线解析式为y=-（x+1）2-2，化为一般式可得y=-x2-2x-3。

2.关于x轴对称后的抛物线解析式的系数a、b、c发生了怎样的变化？

学生总结：关于x轴对称后的抛物线解析式的系数a、b、c与原来的系数互为相反数。

3.这一特征是否具有普遍规律呢？如果抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）关于x轴对称后的抛物线解析式就是y=-ax2-bx-c，那么上述规律得到认可。

学生论证

此抛物线顶点为

其关于x轴对称的抛物线顶点即为

由此可得其解析式为：

可得：y=-ax2-bx-c。

所以，抛物线y=ax2+bx+c关于x轴对称的抛物线解析式是y=-ax2-bx-c。

结论得证。

4.先猜想抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）关于y轴对称的解析式，并观察各系数的特点。

学生论证(www.xing528.com)

此抛物线顶点为

由此可得其解析式为

可得：y=ax2-bx+c。

所以，抛物线y=ax2+bx+c关于y轴对称的抛物线解析式是y=ax2-bx+c。系数特点：二次项系数和常数项不变，一次项系数互为相反数。

活动三：探究抛物线关于原点对称和点关于原点对称之间的关系

抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）关于原点对称图形发生了怎样的改变？从解析式来看各系数又会有怎样的变化呢？

学生论证：抛物线关于原点对称图形的形状和大小不变，开口方向相反。

此抛物线顶点为

其关于原点对称的抛物线顶点即为

由此可得其解析式为：

可得：y=-ax2+bx-c。

所以，抛物线y=ax2+bx+c关于原点对称的抛物线解析式是y=-ax2+bx-c。

系数特点：一次项系数不变，二次项系数和常数项互为相反数。

活动四：探究抛物线的图形变换和图形上的任意一点（x，y）的变换有什么关系

教师引导：抛物线y=ax2+bx+c关于x轴对称的抛物线解析式是y=-ax2-bx-c。

可以看出：y=-ax2-bx-c就是-y=ax2+bx+c，

可以这样理解，把原来的解析式中的每个（x，y）变成关于x轴对称的（x，-y），

这样代入得到的结果就是：-y=ax2+bx+c。

于是可得：y=-ax2-bx-c。

此时，抛物线上的每一个点（x，y）关于x轴对称后变成点（x，-y），以（x，-y）代入原来抛物线的（x，y），可得-y=ax2+bx+c，即y=-ax2-bx-c，与上面的探索结论对比可得结论。

1.抛物线y=ax2+bx+c关于y轴对称的抛物线解析式如何呢？

2.抛物线y=ax2+bx+c关于原点对称的抛物线解析式如何呢？

学生论证1：抛物线上的每一个点（x，y）关于y轴对称后变成点（-x，y），以（x，-y）代入原来抛物线的（x，y），可得y=a（-x2）+b（-x）+c，即y=ax2-bx+c，与上面的探索结论对比可得结论。

学生论证2：抛物线上的每一个点（x，y）关于x轴对称后变成点（-x，-y），以（-x，-y）代入原来抛物线的（x，y），可得-y=a（-x2）+b（-x）+c，即y=-ax2+bx-c，与上面的探索结论对比可得结论。

师生小结：

1.抛物线移动时，顶点可以代表整个图形的每一个点的移动，顶点的确定即可得移动后的解析式；

2.任意一点的坐标变化也可以代表整个图形的变化，这样可以避免繁琐的推导直接代入解析式，也可以得到结论。

活动小结：

本节课建立在学生对与抛物线相关的基础知识熟练掌握的基础上进行拓展，对二次函数的一般式与顶点式之间的互换有较高要求。因为设计的活动层层递进，知识点较少，所以整个探索过程较顺利，学生接受度高， 教师要多鼓励学生去尝试。