等腰三角形的分割方法及优化探讨

材料来源：

上海教育出版社《九年义务教育课本数学七年级第二学期》。

知识平台：

等腰三角形的概念、性质与判定。

拓展意义：

本探究活动是继等腰三角形性质、判定之后，探索能分割成两个等腰三角形的条件。引导学生初步认识图形分割的意义和方法，让学生在探究分割等腰三角形的活动中，体会知识的运用和数学思考的方法，培养学

活动建议：

组织有兴趣的学生分组进行活动，独立思考与讨论交流相结合，注重过程体验。这项活动有一定的难度，为使学生不会感到束手无策，所以对解决问题的思路进行了提示。由于有两层分类讨论和对图形可分为等腰三角形的条件探索，解决该问题并不容易。学生能独立得到一个正确结果，就应该充分肯定；学生能通过合作研究获得更多的正确结果，就有反思总结的素材。这样的体验过程，是重要的学习成果。生的探究精神和探究能力。

活动方案：

活动一：探索分割等腰三角形的方法

1.分割等腰三角形的方法

问题1：用一条直线将一个三角形分成两个三角形，如何分？

学生论证：要过三角形的顶点作直线，否则就分割出一个三角形、一个四边形。

图1

问题2：如图1，已知∠A=100°，∠ABC=60°，能否画一条直线MN，将△ABC分成两个等腰三角形？

学生论证：直线MN一定经过△ABC的一个顶点，根据“最小内角不能被分”原则，尝试从顶点A、顶点B分割，根据所给内角的度数，先分出一个等腰三角形，再去证明另一个也是等腰三角形。

解：如图2，过点B作直线MN，交AC于点D，使∠DBC=20°，则∠ABD=40°。

图2

∵　∠A=100°，∠ABC=60°，　∴　∠C=20°。

∴　∠DBC=∠C，则△DBC是等腰三角形。

∵　∠A=100°，∠ABD=40°，　∴　∠ADB=40°。

∴　∠ABD=∠ADB，

所以，△ADB也是等腰三角形。

过点A，经过尝试，无法分割出两个等腰三角形。

2.尝试练习：

已知△ABC各内角的度数，能否画一条直线，将△ABC分割成两个等腰三角形？

（1）25°，50°，105°；（2）24°，72°，84°；（3）30°，60°，90°。

学生论证：（1）可以分割；（2）可以分割；（3）可以分割。

活动二：探索将等腰三角形分割成两个等腰三角形的条件

1.请你自己设计一个等腰三角形，使这个三角形都可以被分割成两个等腰三角形，你能很快完成吗？

2.思考：任何等腰三角形都能被一条直线分割成两个等腰三角形吗？

学生论证：不一定，举反例，如20°，20°，140°。

3.尝试操作：若给定一个等腰三角形纸片，剪一刀后，被分成两张等腰三角形纸片，这个给定的等腰三角形的每个内角是多少度？把符合要求的等腰三角形尽可能列举出来。

图3

学生论证：如图3，设等腰三角形ABC的底角度数为x，则顶角的度数为180°-2x。

（1）当顶角度数＜底角度数时分割底角，

使得∠1=∠A=180°-2x，则∠3=360°-4x，(www.xing528.com)

∠2=∠ABC-∠1=3x-180°。

分类讨论：

①当∠3=∠C时，如图4所示，

即360°-4x=x，解得x=72°。

此时∠ABC=∠C=72°，∠A=36°，符合题意。

②当∠2=∠C时，

即3x-180°=x，解得x=90°，

此时不能构成三角形，舍去。

③当∠2=∠3时，

图4

即3x-180°=360°-4x，解得

此时∠ABC=∠C=，∠A=，符合题意。

（2）当顶角度数=底角度数时，即等边三角形无法再分割出两个等腰三角形，∴舍去。

（3）当顶角度数＞底角度数时，分割顶角，使得∠1=∠B=x，如图5所示。

图5

则∠2=180°-3x，

∠3=∠B+∠1=2x。

分类讨论：

①当∠2=∠C时，

即180°-3x=x，解得x=45°，

此时∠ABC=∠C=45°，∠BAC=90°，符合题意。

②当∠2=∠3时，

即180°-3x=2x，解得x=36°，

此时∠ABC=∠C=36°，∠BAC=108°，符合题意。

③∵∠3＞∠B，即∠3≠∠C，∴舍去。

综上所述，给定一个等腰三角形纸片，剪一刀后，被分成两张等腰三角形纸片，这个给定的等腰三角形的每个内角是36°，72°，72°；或或45°，45°，90°；或36°，36°，108°。

活动三：拓展延伸

1.如图6，把内角为20°，20°，140°的等腰三角形分成3个等腰三角形。

图6

2.如图7和图8，把一个内角为36°的等腰三角形分成4个等腰三角形。

图7

图8

3.把一个内角为36°的等腰三角形分成5个、6个……等腰三角形吗？ 你发现了什么规律？

学生论证：了解黄金三角形，可以无限分割出等腰三角形：顶角是36°的黄金三角形按任意一底角的角平分线分成两个小等腰三角形，且其中一个等腰三角形的底角是另一个的2倍；顶角是108°的黄金三角形把顶角分成一个72°和一个36°的角，这条分线也把黄金三角形分成两个小等腰三角形，且其中一个等腰三角形的底角也是另一个的2倍。

活动小结：

本节课有三个活动。活动一较容易让学生探索出把一个给定三角形分割成两个等腰三角形的方法，即直线一定经过三角形的一个顶点，最小内角不能被分，并根据所给内角的度数，先分出一个等腰三角形，再去证明另一个也是等腰三角形。活动二是本节课的重点，也是难点，引导学生分类讨论时应用方程思想解决问题，要留给学生充分时间思考、讨论，教师做适当点拨。活动三可以根据课堂情况灵活处理，也可以留到课后由学生自主探究学习。