特别分式的研究及优化

材料来源：

上海教育出版社《九年义务教育课本数学七年级第一学期》。

知识平台：

分式、分式的运算。

拓展意义：

观察一类形如 或 （n、m是大于零的自然数）的特殊分式的表达形式、计算结果的变化规律，引导学生总结出应用“赋值”法和“待定系数”法进行分式拆项，达到简化分式的目的。体验从特殊到一般的类比和化归的数学思想方法，提高分析问题、解决问题的能力。

活动建议：

让有兴趣的学生独立思考，用教师引导、学生讨论交流相结合的形式开展教学，注重过程体验。

活动方案：

活动一：探究形如 （n是大于零的自然数）的分式拆项规律

教师提问：用简捷的方法计算下列算式，并观察算式和结果的特点。

学生论证：

指导学生从分子与分母两个角度观察哪些不变，哪些变，变化的规律如何，探究出这一列数的一般形式，即（n是大于零的自然数）；其次是计算结果的表达形式的规律探究，探究出它的一般形式，即

课堂练习：

学生论证：（1）； （2）5。

活动二：探究形如 （n、m是大于零的自然数）的分式拆项规律

老师提问：你能将分式 写成 （A、B为确定的有理数）这样的形式吗？

引导学生思考：

解法一：（赋值法）要使恒成立，可将x=1，x=-1分别代入上式，得

交流总结：在解数学题时，人们运用逻辑推理方法，一步一步地寻求必要条件，最后求得结论，是一种常用的方法。对于有些问题，若能根据其具体情况，合理地、巧妙地对某些元素赋值，特别是赋予确定的特殊值（如0，1，-1等），往往能使问题获得简捷有效的解决，这就是赋值法。注意赋值时必须要满足分母不为零。

继续思考：

解法二：（待定系数法）如果恒成立，

那么，整理得

交流总结：待定系数法，一种求未知数的方法。将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式。这种解决问题的方法叫做待定系数法。

课堂练习：（1）若（A、B为自然数）恒成立，猜测A、B的值，并验证你的猜想。(www.xing528.com)

学生论证：

（2）若 （A、B为自然数）恒成立，猜测A、B的值，并验证你的猜想。

学生论证：

活动三：运用分式拆项的方法解一类分式方程

教师提问：

（1）解方程：（x为正整数）

（2）解方程：

学生论证：（1）把每一项裂项成，前后两两抵消，使方程变得简洁，便于计算。

化简，得，从而解得，x=5。

（2）把每一项裂项成，提取公因数后，使得前后两两抵消。

化简得，从而解得x=6。

课堂练习：

解下列方程：

（1）；（x为正整数）

（2）（x为正整数）

学生论证：

（1）原方程可化为

原方程化为

从而解得x=9。

（2）分析：由1+2+3+…+n=可以把原方程化为

即

化简，得从而解得x=7。

活动小结：

本节课引导学生从三个层次进行探究，首先从分数到分式的类比探究，找到类似的规律，根据学生已有的知识体系，探究形如 的分式拆项规律；然后探究将一个分式拆成两个分式差的形式，让学生初步体会用“赋值”法探究这类分式的拆分规律，进一步推广到一般形式，让学生体会类比数学思想。本节课引入赋值法，并补充学习待定系数法，拓宽了学生的知识结构，并以一题多解的方式训练其思维的开放性；最后运用探究的规律解符合能拆项特点的分式方程，即运用裂项法解分式方程（一般情况下，在分式方程要拆分、抵消的情况下，方程中的分母是因式相乘的形式，通过裂项，前后项相互抵消，从而把原方程化简，易于求解）。不过，需要提醒的是，不是每道题都能套用裂项法解题的，合适的题目才能应用合适的方法。裂项法是一种有针对性的解题方法，它只是解分式方程的特殊手段中的一种，还有无数的方法等待着我们去探究、思考。