探寻中国古代方程之谜

材料来源：

上海教育出版社《九年义务教育课本数学六年级第二学期》。

知识平台：

一元一次方程的应用、用消元法解二元一次方程组。

拓展意义：

我国古代数学在方程及方程组的研究方面有许多成果。在六年级学生熟练掌握用消元法解二元一次方程组和三元一次方程组的基础上，带领学生走进古代方程问题。这样不仅可以拓展学生的数学阅读面，体会中国数学辉煌的历史和古人的智慧，还可以更真实自然地创造一种探索与研究的数学学习气氛，引导学生体会用消元法解一次方程组的真正形成过程，对提高数学的学习兴趣起到“催化剂”的作用。

活动建议：

教师把教学班分成“四人小组”，首先小组成员课前独立完成活动一，课堂上组内讨论并质疑；在教师的带领下，教学班集体完成活动二；以“四人小组”为单位完成活动三和活动四，教学班集体交流分享总结；教师点评。

活动方案：

活动一：巧猜“密码图”

课前，教师给学生预留了作业单。作业单包含以下三个内容：

（一）一道题

八臂一头号夜叉，三头六臂是哪吒。两处争强来斗胜，不相胜负正相加。三十六头齐出动，一百八手乱相加。旁边看者殷勤问，几个夜叉几哪吒？（注释：“一百八手”指“108只手”）

（二）一幅图

（三）三个问题

1.你能独立解决这道问题吗？如果可以，写下你的解题过程。

2.你对这幅“密码图”的初步猜测有哪些？

3.你对这幅“密码图”还存在哪些困惑？

学生论证：

1.假设x个夜叉，y个哪吒，依题意列方程组

解得：所以有6个夜叉，10个哪吒。

2.猜想这幅密码图表示的是一些数字，比如 分别表示1，2，3，4，5等。

3.有些数字还不是很清晰，比如：分别表示什么？空白处又是什么意思？(www.xing528.com)

活动二：初探“密码图”

课堂上，教师先让学生看了一段介绍“算筹”的视频，然后给小组发任务单，任务单包含以下两个内容：

1.填空题：视频中的一根根小棍叫做（算筹），它是古人的一种（计算）工具。它的摆放分为（纵）式和（横）式两种。在摆放数字时，个位摆（纵）式，十位摆（横）式，百位摆（纵）式……以此类推，纵横交错，空位表示（零），是（纵）式，是（横）式。

2.动手操作题：组长安排一位同学说出一个三位数和一个四位数，另一位同学用小棍摆出对应的算筹图，第三位同学把这两幅图画在方框内，利用投影仪全班交流。

如： 表示234，表示7 708。

算筹作为一种记数工具，开创了十进位值制的先河，也因此创造了一系列震惊世界的奇迹。认识算筹，为我们了解古代数学成就、探明“密码图”扫清障碍。

活动三：破解“密码图”

课堂上，教师给每个小组发任务单，任务单包含以下四个内容：

1.一个总结：算筹这个密码揭开之后，对这幅“密码图”有什么新发现？

2.一个猜想：通过这幅“密码图”你推断古人在干什么？“密码图”中的①～⑦哪一个可以说明你的判断，为什么？

3.一个困惑：小组成员对这幅“密码图”还存在哪些困惑？

经过充分的讨论，小组成员可以将“密码图”翻译成“数据图”，再将“数据图”还原成“方程”组（假设x个夜叉，y个哪吒），并发现了它们之间的联系如下：

活动四：设计“密码图”

今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？画出相应的算筹图，翻译为数字表格。

经过充分地讨论，学生可以得到多个“密码图”：

图1：

图2：

活动小结：

算筹是一个经典而深邃的拓展内容，如何用一个课时的时间呈现给刚学了一元一次方程组的6年级学生，这是一个难题。这节课学生会面临诸多问题：

首先，对古代方程问题的理解，如“夜叉、哪吒”的问题是什么意思？它与平时的数学问题呈现的形式是不一样的。古人为什么这样表述数学问题？其次，算筹是什么？怎样用算筹表示数？算筹与今天的记数方法有什么联系？第三，用算筹怎样解方程组？它与今天的方法是什么关系？两千多年来，它又是怎样发展演变的？等等。

这些问题一节课不可能一一解决。教师要做的就是理清一条“线索”，设计“问题串”，为学生提供一个“支架”，让学生沿着这个“支架”去自主攀登，即为学生打开一扇窗，带领学生透过这扇窗，感受到一个更广阔的数学世界。

本节课曾作为探究性课题上海市级公开课展示，受到了专家的好评。作者以“‘探秘中国古代的方程’教学实践”为题撰文。浦东新区教研员黄家礼老师以“算筹：初中数学拓展课的好素材”为题撰文。两文均发表在《上海中学数学》第248期。