将一个单位分数拆分为两个单位分数之和的优化

材料来源：

上海教育出版社《九年义务教育课本数学六年级第一学期》。

知识平台：

分数的意义和性质、分数的运算。

拓展意义：

单位分数是一个古老而有趣的问题。早在三千多年前，古埃及人就利用单位分数进行书写与计算。在古埃及的数学里基本上只谈单位分数的和，他们认为“任何0与1之间的有理数皆可分成相异单位分数之和”，这是一个非常有趣的数学问题。在学生掌握了分数的意义和性质、分数的运算后，补充这样一个有趣而古老的数学问题，引导学生走进数学文明史，了解著名的数学问题，能扩大其视野，同时培养了其分析问题、自主探索的能力，使他们从中体验到思考的乐趣。

活动建议：

本课将只研究如何将一个单位分数拆分为两个单位分数之和，只要将其研究透彻，将任一分数拆分为几个不同单位分数则迎刃而解。对此问题的研究，本节课主要是通过扩分法来寻找规律。更多的方法可留给学生课后去继续探究。

活动方案：

活动一：创设情境，引入概念

1.将3块大小相同的圆薄匹萨平均分给4个人，每个人能分多少块？

2.该怎么切？（注：每次只能对一块匹萨进行切割，且每一刀必须过圆心）

学生论证：根据分数与除法的关系可知每个人应该得到块匹萨，容易想到的是把每块匹萨4等分，这样每个人得到块匹萨。共需要切6次。

3.为了让每个人得到 块匹萨，能否可以使切的次数减少呢？

学生论证：易知切1刀、2刀、3刀都不行，且

把2个匹萨各分别二等分，再把第三个匹萨四等分，这样切4刀可行，且最少。

4.观看古埃及人分饼引入分数的故事视频。

单位分数：分子为1，分母为大于1的自然数的几个分数之和，这种分数我们称为单位分数。

借助视频故事，引出本节课主题：怎样把单位分数拆成两个单位分数之和。

活动二：小组合作，寻找规律

1.把分解为两个相同的单位分数之和。

学生论证：

教师分析：扩分法定义，用大于1的整数同乘一个分数的分子和分母，使分数的分子、分母都变大而分数值不变的演算。(www.xing528.com)

2.请用扩分法，把分解为两个不同的单位分数之和。

学生论证：

教师提问：若能成功把拆分成2个单位分数之和，你觉得拆开的这2个分数的分子有什么特征呢？

学生论证：分子是6的因数。

教师提问：既然我们要拆成2个不同的单位分数之和，所以得找出6的因数两两不同的组合，分别有哪些？

学生论证：6的因数两两不同的组合有：（1，2），（1，3），（1，6），（2，3），（2，6），（3，6）。

3.小组合作，根据以上几种分子不同的组合，把 拆成两个不同的单位分数的和。在寻找答案的过程中，你们组有什么发现或疑问？

学生论证：

发现（1，2）和（3，6），（1，3）和（2，6）这两组答案是一样的。

4.引导学生探索规律。

教师提问：有几种不同的答案？为什么会出现相同的答案？

学生论证：4种不同答案。因为两分子的最简整数比是一样的。

5.引入情景片段。

小明说：你们刚才只考虑了分子与6约分的情况，其实分子还有可能和分母的另一部分，也就是扩分的倍数约分，比如：

教师提问：大家来看看小明的做法对不对？这两种做法是否产生了新的解？所以是否扩分的倍数越大，产生的解就越多？你能尝试说一下，解的个数与什么有关？是否任何一个单位分数，都能拆分成两个不同的单位分数之和？

学生论证：此法没有产生新的解，因约分后是与之前找到的解重复的。说明这与扩分的倍数大小无关，解的个数只需要考虑分母因数的互素组合即可。由此，任何一个单位分数都能拆分为2个不重复的单位分数之和。

教师总结：通过这一片段的引入，能让学生体会到，解的个数只与分母的因数有关，且这2个因数组合必须是互素的。

活动三：举一反三，巩固提高

教师提问：若把拆成两个不同的单位分数，是否需要逐步扩分？你觉得应该怎么做？

学生论证：不需要逐步扩分，只需要找出8的因数的互素组合即可。

活动小结：

这节拓展课，注重的是对知识的探究思考过程。设计课题时，得考虑更多的可能性，对该规律的推导必须非常熟练，对与该知识点相关的内容都得有比较全面的了解。而在课堂上，则要鼓励学生思考和提问，争取更多思维的碰撞。对学生来说，这样的体验过程，是其重要的学习成果。