探究数学知识的有效途径：学生的数学日记

在我多年的数学教学实践中，我发现，数学思维的培养，如果直奔主题，往往收获甚微。迫于应试的压力，教师最终的落脚点与归宿，还是解题能力的训练。

我们要清楚的是，数学思维是学生的思维，不是教师的思维。有效的思维一定是主动的思维，不是被动的思维。而主动的思维一定是基于兴趣的。

因此，我的数学教学关注学生的两个问题，一是兴趣，而是思维。在这一过程中，让学生写数学日记是一个有效途径。

每接一个新班，我都会向学生提出要求，除了正常的数学作业，学生需要准备一本额外的本子，每天写数学日记。对于这一“新鲜事物”，学生都感到很惊讶。我通常都会给学生大致介绍数学日记可以写的内容：每天上课的要点、错题订正、自己觉得有用的公式、不懂的问题、从课外书上读到的有用或有趣的知识等等，总而言之，一切和数学有关的想法都可以写。

数学日记，简而言之，就是与数学有关的日记。这是我在最近几年的数学教学中尝试的一种做法。几轮实践下来，也积累了一些有益的经验。

数学日记的12种类型：

在实践中，我总结了学生数学日记的12种类型：

1.抒发心情型

每一次我都会提醒学生要写一些有价值的内容，但总有个别学生在某些时候，会写一些诸如“今天天气很好”“今天我很高兴”等言之无物的文字交上来。这种类型的孩子多半对写日记不太感兴趣，或者因各种原因，完成各科作业后已经没有时间再写数学日记，于是随便写几句话交差。有时，也会有诚实的学生写上这样的话：“老师，今天作业太多，明天补。”对于这样的说明，我一概表示理解。不过如果总是写天气和心情的话，我会善意提醒。

2.课堂提炼型

有些学生会把每节课上最重要的内容写在日记本上。事实上，通常在新授课的结尾，作为教师的我都会对这节课的内容作一个小结。但有时，由于时间因素，下课铃响了，不能拖堂，因此，小结就取消了。如果学生自己能把这节课的重要概念、公式、法则提炼出来，未尝不是一种自主学习的能力锻炼。

3.订正作业型

数学日记可以写什么？我给了学生充分的自主权。其中，对自己曾经做过的错题进行分析是受到我鼓励的内容。好的错题分析要包含以下部分：题目，错解，正解，错误原因分析，总结推广。比较忌讳的是只写上一个正确答案，至于这个答案怎么得出的，只字不提。我当然不能武断地得出这个答案是抄袭的结论，但是，我至少可以跟学生说，你这样的订正价值不大。

4.被动解题型

有些学生明明具备很好的数学天赋，但是数学日记却总不尽如人意。他们是被动的学习者。于是我尝试给他们布置问题。在他们的数学日记本上，我会写上一些适合他们能力同时又不是太容易解答的题目，要求他们思考。这种方式效果极佳，学生的回答特别认真，甚至会给出一些出人意料的解法和思路。有时也会无心插柳。当我给一名学生布置题目之后，第二天可能会在另一名学生的日记本上读到这样的内容：老师您昨天给某某同学布置的题目，我是这样思考的……

5.主动解题型

学生中，也不乏对做练习感兴趣的。我们为学生配备的教辅习题集，有些并不是作为每天作业的要求。有些孩子就选做上面的练习，一个周末可以做十几甚至几十题。每道题都标出来源出处。虽然这不是我的初衷，但无论如何，喜欢做题总是好的。熟能生巧，多做练习对夯实数学基本功还是有益的。

6.例题讲解型

由于我经常会把讲台让给学生，请他讲给全班听。通过这种方式告诉每一个人，自己弄懂是不够的，而要通过自己的讲解，让别人也弄明白。这样训练了一段时间，有一些孩子开始迷上讲题。登台的机会不多，他们便利用上了数学笔记。他们会选择书上的例题或者练习，用十分个性化的语言进行分析。例如，他们会这样写：拿到这个题目，我一开始是这样想的，然后这样做，做到后面发现做不下去了，这是为什么呢？原来这里有一个小陷阱……解一道题目，像是破案一样，还有心理活动，真是妙趣横生！

7.课堂延续型

为了鼓励孩子们写数学日记，课堂教学时我时常会对一些问题留有余味，一个问题只讲一半会只给出提示，而让学生课后进行思考。一部分学生课后便会顺着我的思路，对这些问题进行探究。一旦探究成功，他们会十分有成就感，数学日记本便是展示他们成果的最好平台。这些文章稍加整理，便接近一篇有价值的数学小论文。

8.积极提问型

常有些孩子会在日记本里与老师对话，问老师问题。可能是被当天作业里面的一道题难住了，可能是书上一个概念没有完全弄明白，也可能是对老师批改自己作业某道题的不理解。有时也会遇到有关学习方法的问题，或者询问如何提高自己的数学成绩。每次和这样的学生对话，我的心中总是充满温情。

9.考查教师型

学生之间常常会相互交流一些问题，有些有趣的问题会在学生中间流传，特别是诸如“拿着100元假币去买成本价20元零售价25元的物品老板损失多少”这样有些搞脑子的问题，或者一些脑筋急转弯的题目，学生知道答案后，会觉得很有趣，于是向老师提问。如果是悖论，那么有明确解答，我会用简明扼要的语言给他分析清楚，至于脑筋急转弯，并非严谨的数学逻辑，我胡乱猜一个，答错也无妨。参与第一，保持学生的积极性很重要。

10.超前学习型

有些孩子学习能力很强，不满足于教师的进度，通过自学或者在校外补习班超前学习后面的内容。我曾经教过一个孩子，初一时就学习了二次函数的内容。因此，在数学日记中，他会写一些有关他正在课外学习的知识。这类孩子是数学学习的资优生，我会有意识地对他们的超前学习给予一定的指导，以鼓励他们走得更高更远。

11.思维拓展型

每个班级都有一些善于独立思考的学生，他们对一些问题常常有自己创造性的见解。有一次，一个孩子写的一篇文字让我击节叫好。她先给出正方形的面积是a的平方，其中a是正方形的边长，右边则画出一个长方形，面积则是ab，其中a、b分别是长方形的长和宽。在正方形的下面，她画了一个圆，列出面积是π与r平方的乘积，紧接着引申出最精彩的部分——椭圆的面积，她猜测是πab，其中a、b分别是椭圆的长短半径。对一名六年级的孩子来说，能够写出这样的东西殊为不易。我忍不住对她大加赞赏。这些孩子受到鼓励之后，探索和思考的热情会更加高涨，常常会从一个很小的问题出发进行深入的探究，得出有价值的结论。这是最高水平的数学日记。学生能够自己发现问题，思考问题，解决问题，这正是数学教育的价值。

12.博览文摘型

有一个孩子很独特，他的知识面很丰富，对地理、天文等很感兴趣，经常在日记本上写一些这方面的内容，一开始我比较狭隘，批评过他几次，后来意识到，他也是在学习，只不过不是跟数学直接相关而已，我应该宽阔一些。于是主动与他互动。后来他写了一篇文章，对语文试卷上一篇课外阅读从科学角度做出分析，以证明其犯有常识性的错误。我推荐给其他老师阅读，都称赞极有见地。这种孩子，可能一开始只是摘录一些数学家的小故事，或从数学史中截取一些典故，只要我们保持耐心，说不定哪天就交出高质量的论文。

学生写数学日记的四个层次：

从数学思维的层面来说，以上12种数学日记的类型还是有高下之分的。我将其分为四个层次。

第一层次：被动应付。抒发心情型的日记属于此类。有时，在我的劝说下，有的学生不写心情和天气了，便随便从书上抄一段概念交上来，基本上没有主动的思考。

第二层次：完成任务。课堂提炼、订正作业和被动解题型属于此类。他们会把数学日记作为一项作业来做，如果教师不布置或者没有要求，那么，这项作业便不会完成。

第三层次：主动思考。例题讲解、课堂延续、积极提问、考查教师型属于此类。到了这一层面，学生对待数学日记的态度已经发生变化，他们会发现此中的乐趣，写数学日记的态度相当认真，而且会非常关注教师的留言与评价。

第四层次：创新思维。超前学习和思维拓展型属于此类。到达第三层次的学生已是优秀，到达第四层次可算杰出。这类学生已具备较高的数学素养，对数学有较好的理解能力和洞察力。学生到了这个层次，写日记已经成为一种习惯，并且很享受这个过程。

每一名学生写数学日记都有固定的习惯，但每次的数学日记质量有高低。一名学生长期写的都是第二层次的日记，偶然一次会写出第四层次的日记来。在一名学生的一次日记中，有时也会混杂不同的内容。他可能在订正完一道错题后，回答我上次关于他的某个问题的一个提问，并且就老师对他之前某一个问题的答复给予评价，最后又会问一个让他困惑的问题。

教师策略：

关于数学日记，教师通常可以采用以下一些策略：(www.xing528.com)

1.要求学生每天写数学日记，写日记贵在坚持。

2.赋予课代表权力，在作业特别多的时候，宣布当天的数学日记可以不完成。

3.每天认真批改，坚持留言。

4.每周抽出半节课或者一节课对数学日记作总结，请写得好的学生向全班介绍讲题。

5.设计一套加分系统，对每次的数学日记进行评价。

6.学期结束按照加分情况给予特殊的奖励措施，如可以免除全部或部分暑期作业等。

7.精选学生的数学日记制作数学小报。

数学解题的五个境界：

写数学日记的习惯培养最好在低年段进行，因为培养的过程需要时间。我曾临时接班教初三数学，也向学生布置了写数学日记的任务。但由于中考时间紧，学生各科学业压力大，因此，数学日记的内容主要是有关解题能力的培养。

我对学生提出了数学解题的四个境界，以引导他们形成良好的思维习惯。

第一个境界：正确解题。很多同学以为如果一道题目做错，订正一下，知道哪里错了，怎么做，就行了，其实这只是最低境界。

第二个境界：一题多解。我们要养成的良好习惯是，不要满足于用一种做法和思路解题。一道题目做完之后想一想还有没有其他方法，哪种方法更简单。对于最后的结果，是不是可以有其他的合理解释。

第三个境界：一解多题。完成一道题目的分析后，尝试推而广之，或者把其中的数字换成字母，或者把一些条件做一些改变，从这道题目延伸出去，探究与此相关的一类题目。

第四个境界：发现定理。到了这个境界，可以自己发现一些结论或定理。这些结论和定理都是解题的有用工具。数学解题高手都有自己的定理库。

第五个境界：自己编题。解题的最高境界是能够编题。不是所有的数学老师都具备编题的能力。解题高手拿到一道题目，会知道出题者的意图，会发现出题者的陷阱。即便出题者粗心出现了一个错误，他也能够很快地纠正。

通过这样的引导，学生的学习兴趣和思维能力普遍有所提升。

一封学生来信：

初三中考之后，一名学生给我写了封信，谈到他从写数学日记过程中收获的感悟。

我的数学梦

——初中毕业日记

初中四年转瞬即逝，值得珍藏的回忆有许多，学会的知识也有不少。但是不得不承认的是，数学对我有最为重要的意义。

第一次喜欢上数学是在5年前了，那时候老师让我做班中的课代表，我因为这样的机缘而开始接触数学。

从小学开始我就不喜欢记忆性的学习，这算是缺点也是优点。我的英语成绩和所有的概念问题全部是一塌糊涂。但也因此我用了很多的时间开始研究数学。小学四年级我就喜欢用方程解题因为这样更符合我的思路。我在接触几何时就把所有的定理推论掌握，并试图探讨其间的关系。（结果到现在没搞明白哪些是定理，哪些是推论）我也曾经试过用解析几何的方法去完成证明题。我只按照自己的思维方式去做题，不太在意老师教的套路。

因为考试还是比较规矩的，所以我的很多方法在应试上并不适用。有一段时间，我甚至想要放弃我的学习方法。

不过我有幸能够遇上万老师。通过数学日记我可以找到一个很好的方法来消化课堂的知识（其实我认为老师讲的东西常常都是没办法光听课就懂的）。更为重要的是我找到一个空间能进行数学探究，老师在日记上的批改与修饰对我来说是一种无声的鼓励。我也对自己有信心。

如果说感谢，千言万语也无法说尽。我所要告诉老师的更多是我的数学观。

数学是世界上最为严谨的学科。我们接触的大量定理是有极少数的公理通过严密的证明得来的。换言之数学就像使用更严密而细微的方法来解答宏大而宽泛的问题。其难度也是科学之最。难怪高斯会说：“数学是科学之王。”

因此我们不难得到一个新的问题：数学的价值。这已经是一个十分专业的问题了，我没办法解答，但我想谈谈自己的观点。

首先数学是用来解答问题的，但随着物理、化学、经济等科学的兴起，数学的实用价值就被转移了一大部分，从某种意义上讲，数学为所有的科学服务。

数学最重要的价值是：解释问题。

其实不难发现很多猜想在提出时就可以肯定其正确。但是数学要求一个严密的证明来解释其合理性，也就是数论，高斯那句话的下半句正是“而数论是数学之王”。就像费马大定理，就算把指数从3提高到几亿去证明依旧无法得到完美的证明。所以才会在358年内有无数的数学家前仆后继地去尝试。直到最后安德鲁·怀尔斯用那130多页的证明破解了这个问题。

很多人会疑惑，这样的行为价值何在。起初我也很困惑，在一年来的日记中我渐渐明白了数学的意义和其魅力。

我在日记中写过很多的著名定理和推论，其实每一个定理在我写之前我都是充满疑惑的。我认为确定的三角形有确定的面积，于是我找到海伦公式并加以证明。我认为三角形的中线、角平分线、中垂线交于一点有缘可循，我找到了塞瓦定理。我认为特殊的函数形成特殊的图形，所以我自己发现了数学规律。

其实我们看到的现象很多，但我们真正明白其前因后果的却十分少。数学的价值就在于给予了人们一个方法（逻辑思考）去理解事物，从而做更好的决定。

数学没有功利，也没有投机。只有意志与智慧才能在数学中存活。

我的数学梦是一个理解事物真相的理想。我遇见了老师，邂逅了真正数学的意义。因而默默地许下这个愿望，并付诸实践。数学日记是老师给我的一个美好的方法，也是努力的开始。

我想对我而言对老师最好的感谢方法就是：继续写我的数学日记。

数学日记赏析：

今年被哈佛录取的学生陈子弘保留了初一的数学日记，当时我正是他的数学教师！看看他初一时候的数学思考，就知道为什么哈佛会录取他了！