模型的均衡分析及其特征和稳定性

1.消费者最优化

在积累方程(5-7)的约束下，消费者最优化问题就是，如何选择消费率、休闲率和资本积累率来最大化效用函数(5-6)。效用最大化的一阶条件为：

其中，λj是个体j资本的影子价格，横截性条件为：

2.宏观经济均衡的推演过程

由上述个体的积累方程、整体经济的表现和最优化条件，可以逻辑演绎宏观经济的均衡状态及其特征。

用(5-8)式除以(5-9)式可以得到：

将个人的积累函数(5-7)式写成：

将(5-13)式对时间t求导，并结合(5-15)式、(5-10)式，可以得到：

(5-14)式表明，如果不考虑资本禀赋的差异，个体都选择相同的资本增长率和影子价格。

将(5-12)式对时间t求导，可以得到：

结合(5-14)式、(5-25)式，可以得到：

由(5-16)式、(5-17)式，可以得到：

(5-18)式表明，所有个体j都将选择一致的休闲和消费增长率。进一步，平均休闲l和平均消费C也以它们各自相同的速度而增长。

将(5-12)式加总，并由∑kj＝1和∑lj＝l，总体经济的消费与资本之比为：

加总(5-13)式，总的积累方程可以得到：

将(5-20)式、(5-15)式和(5-18)式代入(5-14)式，并将它写成l的微分方程形式

(5-21)式中：在稳定均衡状态有，并且由决定。所以，l关于的线性化动态方程为：

在γ＜0的条件下，可以由横截性条件保证，那么，(5-27)式微分方程是不稳定的。因此，l t()在任何时点上都是不变的是最终达到均衡状态的唯一解的条件。　由(5-18)式可知，在任何时候lj(t)都是不会变化的。

将(5-13)式和(5-20)式结合，　得到相对资本存量kj(t)＝Kj(t)/K(t)的微分方程：

进一步，可以得到：

(5-24)式刻画了从初始禀赋k0开始，相对财富(资本)的动态变化。由于lj和l都保持不变，如果u和ϕ是某一个不变的数值，上述方程属于一个简单的线性方程。由横截性条件决定的系数kj(t)决定该方程的性质。如果对所有的个体，(5-11)式的横截性条件都是固定不变的，那么，可以得到总的横截性条件：

由于l是固定不变的，由(5-14)式和(5-20)式可知，λ和K都以固定的速度增长。因此，可以证明，(5-20)式要成立的充要条件：

也就是说，经济的均衡增长率必须小于金融部门中资本回报的均衡速率。根据(5-20)式中的两个方程，横截性条件可以进一步写成两个等价的形式：

(5-27)式表明个体的一部分资本收入被用来消费，(5-28)式代表出现这种情形的休闲约束条件。

回到(5-24)式，由(5-28)式可知，如果系数kj是正的，那么，(5-24)式的右边为零就是满足横截性条件和长期稳定性的唯一解。也就是说，对于所有的时间，。所以，通过“相对劳动供给”函数，个体可以选择休闲lj来实现。“相对劳动供给”函数形式为：(www.xing528.com)

由横截性条件(5-28)式可以得到，休闲与相对财富之间存在正向联系，所以，个体的相对财富状况ki不会随时间而发生变化，个体的资本存量也都以相同的增长率增长。也就是说，在任何时点，个体j的份额kj都与他的初始份额kj0完全一致。进一步，由(5-14)式、(5-15)式和(5-18)式，可以推出个体消费和总消费也以相同的速率增长：

(5-29)式给出了个体的闲暇选择，(5-30)式给出了个体的消费增长情况。“相对劳动供给”函数(5-29)，是初始相对资本禀赋影响收入分配的反映函数。一方面，因为越富裕的个体财富边际效用越低，进而选择“购买”更多的闲暇，提供更少的劳动。为此，他们需要补偿更多的资本禀赋以维持更多的闲暇，这样一来会促进更高的增长率。另一方面，更少的劳动也会放慢一国的经济增长速度。所以，综合正反两方面的因素，整体经济增长率不决定于资本在个体之间的分配格局。

(5-30)式表明，在均衡状态下，对所有个体都一样，消费和资本的增长率是相等的。因此，在宏观经济均衡条件下，总体劳动供给和经济增长率，并不决定于财富分配。进而言之，所有个体都以相同的速率实现资本存量增长，这就意味着，个体j的资本份额kj始终与他的初始份额kj0完全一致，个体的相对财富位置也不会随着时间而发生变化。

3.宏观经济均衡状态的特征

前面的推演过程表明，宏观经济总是在它的平衡增长路径上，其中的关键均衡特征为：

(1)均衡增长率。

(2)总消费-资本比。

(3)产品市场均衡。

由r(l)、w(l)和Φ(l)的定义，给定ki，将这些方程联立求解，就可以得到平均增长率ψ、总的消费-资本比C/K和总的闲暇时间l。如果给定l，(5-29)式可以确定个体的休闲时间li，而个体的消费-资本比C/K可以由(5-9)式除以(5-8)式得到：

由(5-30)式、(5-32)式和(5-33)式，可由一组方程描述宏观经济均衡，它们共同决定了平均休闲时间l和均衡增长率ψ：

(5-35)式描述了休闲与均衡增长率之间的关系，意味着产品市场均衡条件可以满足。(5-36)式描述了ψ和l之间的关系，表示消费回报风险调整比率与资本回报风险调整比率之间的相互关系。进一步，我们将关注它们的均衡解，它不仅产生正的均衡增长，并且在满足横截性条件下是稳定的。

由(5-35)式和(5-28)式可知，在下面的区间内l的必然均衡解：

现在，讨论方程(5-35)、方程(5-36)的性质。首先，对于l，方程(5-35)总是递减的，反映了更多的休闲时间会提高消费-产出比率，从而会降低产出，并且与资本增长率存在反向联系。此外，对于l方程(5-36)也是递减的。直观上，降低消费回报，提高休闲时间所占的比重会降低资本生产率。在弱条件下，上述两个方程都是凹的，并且在以下充分条件存在一个唯一均衡解：

如果γ≤0，与稳定性条件G′(l)＞0一起，那么，上述条件都可能满足。因此，在更弱的条件下它们也能满足。

(4)收入分配特征。

个体的收入为Yj＝rKj＋wKj(1-l)，整个社会的平均收入为Y＝rK＋wK(1-l)。个体的劳动供给用方程(5-34)来替换，个体j的相对收入可以写成yj＝Yj/Y，即：

可以将上式简化为：

yj (　l，kj )-1＝ρ(l)(　kj-1)

其中：

方程(5-40)强调以下两个因素决定收入分配：一是在劳动与休闲之间的时间均衡分配；二是资本在个体之间的初始分配。由ρ(l)给出初始财富增加对个体j相对收入的净影响。如果均衡增长为正，那么可以直接证明：

0＜ρ(l)＜1　(5-41)

所以，对于kj相对收入是严格递增的，虽然更富裕的个体选择了更低的劳动供给，但是这个更低劳动收入的负面影响，并不足以抵消他们更高资本收入的正面影响。其结果是，个体资本的标准差σk大于他们之间收入的标准差σy(收入不平等的度量指标)。为了更直观一些，由相对劳动供给函数即方程(5-34)可知，劳动供给的标准差σL＝σl可以表示为：

由(5-28)式可知，(5-42)式括号中的函数值在0与1之间，表明资本禀赋的不平等程度高于劳动供给的不平等分配程度。所以，相对于他们资本禀赋的差异性而言，这降低了个体之间收入的差异性。