构建证券投资组合及其预期收益率

1.证券投资组合理论

（1）证券投资组合收益率和风险的测度。用马柯维茨方法进行证券组合投资，投资者关心的是不同的投资组合方法将会对未来可以获得的财富水平产生怎样不同的影响，这可以用证券投资组合的预期收益率和风险进行测定。

第一，证券投资组合收益率的测定。投资者将资产按一定比例投资于不同证券时，就构成了一个证券组合，组合的预期收益率依赖于组合中每种证券的预期收益率和投资比例。

首先，单一证券收益率的测定。投资者一定时期内投资于某一证券的收益率测定公式为

其中，R表示单一证券的收益率；W0 表示期初购买证券所投入的成本，一般是指期初证券市价；W1 表示期末财富数量，即期末证券市价及投资期内投资者所获收益的总和，所获收益包括股息和红利。

公式（5-6）所表示的是一定时期内投资者的收益状况已经确定后所计算出的投资收益率，当投资涉及现在对未来的决策时，证券未来的收益状况就变成了一个不确定的量，投资者更加需要对未来的收益率进行预测与估计，此时也可使用与式（5-6）近似的公式来计算未来可能发生的预期收益率E（R）：

所不同的是，E（W1）表示投资期初投资者对期末财富数量的估计。马柯维茨认为，正是由于未来收益率具有不确定性，其往往表现为一个随机变量，所以，可以将期望收益率作为对未来收益率的最佳估计。投资者也可以通过估计投资期内可能出现的各种收益状况（事件）及每一种收益状况发生的可能性（概率），使用概率加权的方法来计算预期收益率状况：

其中，E（R）表示预期收益率；E（Ri）表示投资期内第i种可能出现的收益状况的期望收益率；Pi表示期望收益率E（Ri）发生的概率。

其次，证券投资组合收益率的测定。证券投资组合的预期收益率是组成该组合的各种证券的预期收益率的加权平均数，权数是投资于各种证券的资产数占总投资额的比重：

其中，E（RP）表示证券投资组合的预期收益率；E（Ri）表示证券投资组合中第i种证券的预期收益率；wi表示投资于第i种证券的资产数占总投资额的比重。当全部资产被投资于不同证券品种时，不同证券上的投资比重之和＝1。

第二，证券投资组合风险的测定。风险是指投资者投资于某种证券后实际收益率的不确定性，实际收益率与预期收益率的偏差越大，投资于该证券的风险也就越大。

首先，单一证券风险的测定。证券的风险由该证券预期收益率的方差或标准差来衡量：

其次，双证券构成的组合风险的测定。证券投资组合的风险不是简单地等于单个证券风险以投资比重为权数的加权平均数，因为组合内部不同证券之间的风险可能具有相互抵消的特征。这就需要引入两个可以表征随机变量之间关系的变量——协方差和相关系数。

协方差反映了两个证券收益率之间的走向关系。以A、B两种证券为例，协方差可以记做Cov（RA，RB），也可记做σAB，是用来确定证券投资组合收益率方差的关键性指标，其计算公式为

其中，RAi和RBi分别表示证券A和证券B所观察到的收益率；E（RA）和E（RB）分别表示证券A和证券B的预期收益率。

当两个证券的协方差为正值时，则表明证券A 和证券B的收益率变动趋势一致，即一种证券的收益率高于其预期收益率时，另一种证券的收益率也高于其预期收益率；当两个证券的协方差为负值时，则两种证券的收益率变动趋势相反。但是从协方差的符号仅能看出两个证券收益率之间是否相关，而不能很好地体现两者之间的相关程度。

相关系数是协方差的标准化，记作ρAB，相关系数与协方差的关系可以用公式表示：

也即，

在风险的衡量过程中，之所以引入协方差之后又引入相关系数来表征两个证券收益率之间的关系，是因为两个证券的协方差经各自的标准差进行标准化后，所得到的相关系数剔除了有名数的干扰，而且不再像协方差一样数值是无界的，相关系数的取值范围介于－1与1之间，这样既可以体现两者之间的相关程度，又便于同另外一对随机变量的相关性进行比较。

相关系数的值与两个证券收益率变动之间的关系为：ρAB＝－1，表示两个证券收益率变动完全负相关；ρAB＝+1，表示变动完全正相关；ρAB＝0，表示变动完全不相关；－1＜ρAB ＜0，表示变动负相关；0＜ρAB ＜1，表示变动正相关。

值得注意的是，对某一证券而言，自身具有相关性，所以，ρAA＝1，σAA＝（σA）2

由两种证券构成的双证券投资组合的风险依然由该证券投资组合预期收益率的方差或标准差来衡量：

相关系数的值（即两个证券之间的相关程度）会直接影响到整个组合的风险状况，下面将分别对相关系数为1，0和－1时的组合风险做更进一步的讨论。

当ρAB＝1时，两种证券收益率的变动完全正相关，此时：

当ρAB＝0时，两种证券收益率的变动完全不相关，此时：

当ρAB＝－1时，两种证券收益率的变动完全负相关，此时：

由此可以看出，在完全负相关的情况下，风险可以大大降低，甚至可以通过改变投资比重wA 和wB 的值，完全消除风险使其为0。

证券组合中每种证券的比重和单个证券的风险会影响投资组合的风险，同时，证券收益率之间的相关性也会产生影响。将由A、B两只股票组成的投资组合的收益率和风险绘制在坐标图上，可以看出，当ρAB＝1时，表示证券组合预期收益率和风险关系的点会落在AB直线上（具体位置取决于投资比重wA 和wB）；当－1＜ρAB ＜1时，代表组合预期收益和风险的所有点的集合是一条向后弯的曲线，ρAB 越小，向后弯的程度越大，表明在同等风险水平下收益更大，或者说在同等收益水平下风险更小；当ρAB＝－1时，所有点的集合是一条向后弯的折线。

图5-5　双证券投资组合收益率、风险与相关系数的关系

第三，多种证券构成的组合风险的测定。多种证券构成的证券投资组合的预期收益率的方差可以用双和公式表示，也可以用矩阵的形式表示。

其中，σ2P 表示证券投资组合的方差，以衡量风险；σij表示证券投资组合中某两种证券的协方差；ρij表示证券投资组合中某两种证券的相关系数；σi 表示证券投资组合中某种证券的标准差，用来揭示组合中单一证券的风险。

用矩阵表示为

其中，∑称为方差—协方差矩阵：

方差—协方差矩阵是一个方阵，组合中每种证券的方差出现在矩阵的对角线上，而且该矩阵是对称的，也就是说出现在第j列第i行的数一定会出现在第i列第j行，这是因为两种证券的协方差不会随组合中两种证券顺序的改变而发生变化。

假设某投资组合由A、B、C三种证券构成，三种证券占组合的投资比重分别为wA＝0.5、wB＝0.3和wC＝0.2，三种证券的方差—协方差矩阵为

则该组合的方差为

（2）风险的种类及联系。金融投资的总体风险可以划分为系统性风险与非系统性风险。

第一，系统性风险。系统性风险是指由于某种全局性的因素而对所有证券的收益率都产生作用的风险。这种风险来源于宏观方面的变化，对金融市场总体产生影响，不可能通过证券投资组合的方式来加以分散，所以也称为宏观风险、不可分散性风险，有时也被称为广义的市场风险。

第二，非系统性风险。非系统性风险是由个别公司特殊状况造成的风险，这类风险只与公司本身有关，而与整个市场没有关联。投资者可以通过投资组合的方式弱化甚至完全消除这部分风险，所以也称微观风险、可分散性风险。非系统性风险具体包括财务风险、信用风险、经营风险、偶然事件风险等。

第三，系统性风险与非系统性风险的关系。

系统性风险与非系统性风险的关系可由图5-6表示。

图5-6　系统性风险与非系统性风险的关系

从图中可以看出，证券投资组合的风险由两部分组成——不可分散的系统性风险和可分散的非系统性风险，其中，非系统性风险随证券投资组合中证券数量的增加而逐渐减小。证券投资组合的总风险通过组合收益率的标准差（或方差）来衡量。

（3）无差异曲线。投资者的无差异曲线能够给投资者带来满足相同效用的预期收益与风险的不同组合。而投资者的效用与组合预期收益正相关，与组合风险负相关。一个常用的效用评分方法如下：

式中，U 表示效用值；A为投资者的风险厌恶系数。系数1/2只是一个约定俗成的分数相。该式包含这样一个观点，即认为效用随着期望收益率的增加和风险的减少而增长，投资对风险厌恶程度越高（A越大），风险投资组合带来的效用越低。

我们在投资分析过程中，主要针对理性投资者，即风险厌恶型的投资者。对一个特定风险厌恶的投资者而言，任意给定一个资产组合，根据他对风险的态度，按照期望收益率对风险补偿的要求，就可以得到一系列满意程度相同（无差异）的证券组合。

在图5-7中，如果某投资者认为经过A 点的那一条曲线上的证券组合对他的满意程度都是无差异的，这条曲线就称为该投资者的一条无差异曲线（Non-diference Curve）。这条曲线表示特定投资者对资产风险和收益的偏好态度，因而可以画一个二维图，其中，横轴表示用标准差（记作σp）测度的风险，纵轴表示用预期收益率（记作rp）测度的回报。每一条弯曲的线表示该投资者的一条无差异曲线，代表所提供同一给定满意水平的组合整体。有了这条无差异曲线后，任何证券组合均可与证券组合A 相比较。例如，按该投资者的偏好，资产组合A，D，E在一条曲线上，三者的效用是无差异的；组合B比组合A好，因为B在经过A 点的无差异曲线的左上方，B比该曲线上的任何组合要好；相反，C则比A差，这是因为C点在这条无差异曲线的右下方。

图5-7　风险回避偏好的投资者无差异曲线

同样，也有一系列资产组合与组合C“同等地好”，从而形成一条无差异曲线。类似地，过B点也有一条无差异曲线。事实上，任何一个资产组合都落在某一条无差异曲线上，从而形成无差异曲线簇。

对于一簇无差异曲线而言，存在如下四个方面的特征。

第一，无差异曲线的一个基本特征就是无差异曲线不能相交。落在不同的无差异曲线上有不同的满意程度，因而一个组合不可能同时落在不同的无差异曲线上，也就是说，不同的无差异曲线不能相交。从这一点来看，对投资者而言，一条无差异曲线上的所有组合的效用程度都是等同的，即无差异曲线具有效用函数的特征。

第二，无差异曲线的弯曲程度因人而异，它反映了不同投资者的风险态度。无差异曲线的斜率不同，投资者的风险厌恶程度也就不同，曲线斜率越陡峭，表明投资者的风险厌恶程度越高。不同投资者的无差异曲线形成一个曲线簇，我们称之为无差异曲线簇（见图5-8）。图5-8（a）表示高度风险厌恶者的无差异曲线，图5-8（b）表示中等风险厌恶者的无差异曲线，图5-8（c）表示轻度风险厌恶者的无差异曲线。

图5-8　不同类型风险厌恶投资者的无差异曲线簇

第三，无差异曲线的变动方向一定是从左下方向右上方。从函数的角度而言，它是一个严格单调的上升函数。因为落在同一条无差异曲线上的资产组合有相同的满意程度，按照投资者对风险收益关系的基准，每一个点只可能与自己右上方的点具有相同的满意程度，否则，将有悖于这一公共基准。

第四，随着无差异曲线向右移动，曲线将变得越来越陡峭，而不是越来越平缓。为何无差异曲线是递增形状？ 因为对风险回避的投资者而言，承担较高的风险必须要有相应的高收益进行补偿。在已经承受较高风险的情况下，要进一步增加风险，就会要求更多的收益补偿；相反，若预期收益较低，要进一步降低收益水平，就要求降低更多的风险，这就是经济学上的边际效用递减原理，这就导致效用函数的凸性特征。

（4）有效集。

第一，可行集。可行集又称为机会集，由它可以确定有效集。可行集代表一组证券所形成的所有组合，也就是说，所有可能的组合位于可行集的边界上或内部。一般而言，这一集合呈现伞形，具体形状依赖于所包含的特定证券，它可能更左或更右、更高或更低、更胖或更瘦。除非出现反常情况，可行集的形状看起来如图5-9所示。

通常，可行集满足以下两个重要特性。

首先，若至少有三种资产（非完全相关且均值不同），则可行集是一个二维的实心区域。图5-9（a）说明了为什么可行区域是实心的原因。我们在此假定存在A、B和C三种基础资产。由于任意两种资产构成资产组合的两资产之间的一条曲线，将A、B和C两两组合后，便可得到如图5-9（a）中的三条曲线。若资产D是资产B和C的一个组合，则D可以与A进行组合得到一条连接A与D的曲线，当D在B和C之间移动时，连接A和D的曲线轨迹就是一个实心区域。

图5-9　可行集

其次，可行区域凸向左边。在可行区域内，任取区域内的两点，连接着两点的直线不会穿过可行区域的左边界。这是因为任意两项资产组合的轨迹总在两项资产连线的左边或在这两项资产的连线上。图5-9（b）给出了一个典型的可行区域。

第二，有效集定理。投资者如何选择无差异曲线？ 对风险厌恶的投资者而言，最西北方向的无差异曲线将是最优组合。因为在特定风险条件下，投资者的无差异曲线所表示的效用函数值就越大，预期收益也越大。(www.xing528.com)

尽管最西北方向的无差异曲线提供了最大的预期效用值，但这一效用函数是否对每一个投资者而言都是一个可行的资产组合呢？ 答案当然是否定的。因为对特定投资者而言，最优组合的选择必须按照均值—方差原则进行，最大的效用函数并不代表是可行的资产组合，而最小的风险约束同样也不一定是最大的预期效用，因此，必须将风险和效用这两个约束条件结合起来进行资产组合选择，才能挑选出符合一定风险—收益关系特征的特定投资者的最优组合。而这一问题的解决，就需要运用有效集定理。

在有效集定理中，投资者仅需要考虑那些可行组合的一个子集即可，因为投资者按照以下原则选择最优组合。

首先，对于同一风险水平，提供最大的预期回报率。

其次，对于同一预期回报率，风险水平最小。

满足这两个条件的组合集被称为有效集或有效前沿。

有效集是可行集的一个子集，位于可行集的左上方边界上，如图5-10所示，可行集边界上F、G两点间的部分为有效集。在图5-10中，对于各种风险水平而言，能提供最大预期收益率的组合集是可行集中所有点上方边界上的组合集；而对于各种预期收益率水平而言，能提供最小风险水平的组合集是可行集中介于E、G 之间的左边界上的组合集，同时满足这两个条件的即为F、G两点之间可行集上方边界上的组合集。

图5-10　可行集与有效集

从有效集的形状可以看出，有效集具有如下特点：①有效集是一条向右上方倾斜的曲线。这是因为它反映了证券投资“高收益、高风险”的原则。②有效集是一条上凸的曲线，不可能存在凹陷的地方。这是因为有效集是可行集的子集，有效集上任意两点再构成组合仍是可行的，也就是说，两点之间仍可以连线，如图5-11所示，V、W 两点之间如果存在凹陷，则V、W 两点间仍可连线，这时，一定风险水平之下，VW 连线上的组合的预期收益率一定高于凹陷处的预期收益率，所以，不可能存在凹陷的地方。

图5-11　有效集不可能存在凹陷

第三，无风险借贷对有效集的影响。

首先，我们来看无风险资产的定义。无风险资产是预期收益率确定且方差为零的资产，也就是说，无风险资产的收益率在投资期初就是确定的，其收益率RF＝E（RF），而且没有风险，σ2F＝0（也即σF＝0）。而后者同时意味着无风险资产的收益率变动情况与任何风险资产的收益率变动无关，即无风险资产的预期收益率与任何风险资产的预期收益率之间的协方差也为零，这是因为任何两种资产i和j之间的协方差都等于这两种资产之间的相关系数与两种资产各自的标准差的乘积，即σij＝ρijσiσj，如果i为无风险资产，则其标准差σi＝0，所以，σij＝0。

这种有固定收益而且没有风险的证券在现实中只可能是由政府发行的短期债券。但有一点需要明确，那就是如果投资者没有将自己手中的政府债券持有到期，而是在政府债券到期之前提前出售了，这时的政府债券也是有风险的。因为在投资者持有期内利率的变化是不可预测的，所以，政府债券没有到期而提前出售会面临利率风险（或称价格风险），而不能被视为无风险资产。只有投资者持有期限与债券到期期限相一致的短期政府债券才可以被作为无风险资产看待。这样，在一定的投资期限内，市场上就只会存在一种无风险资产。

其次，一个无风险资产与一个风险资产的组合。当市场中只有一个无风险资产和一个风险资产的时候，我们可以假设投资者投资到风险资产上的财富比例为y，投资到无风险资产上的财富比例为1－y。这样，投资组合的收益就可以写为

其中，rc 为风险资产的收益，这是一个随机变量；rf 为无风险资产的收益，这是一个常数。这样，资产组合的期望收益和标准差就可以写成下述形式：

其中，σp 为风险资产的标准差。

根据式（5-19）和式（5-20），我们可以消掉投资权重y，并得到投资组合期望收益与标准差之间的关系：

当市场中只有一个无风险资产和一个风险资产时，式（5-21）就是资产组合所有可能的风险—收益集合，又称投资组合可行集。该式在期望收益—标准差平面中是一条直线（见图5-12），该直线通过代表无风险资产rf 和风险资产rp 的点，我们称这条直线为资本配置线。

图5-12　一个无风险资产与一个风险资产构成的投资组合可行集

随着投资者改变风险资产的投资权重y，资产组合就落在资本配置线上的不同位置。具体来说，如果投资者将全部财富都投资到风险资产上（y＝1），资产组合的期望收益和方差就是风险资产的期望收益和方差，资产组合与风险资产重合。如果投资者将全部财富都投资到无风险资产上（y＝0），资产组合的期望收益和方差就是无风险资产的期望收益和方差，资产组合与无风险资产重合。风险资产rp 和无风险资产rf 将资本配置线分为三段，其中，无风险资产和风险资产之间的部分意味着投资者投资在风险资产和无风险资产上的财富都是正值；此时，0＜y＜1。风险资产r右侧的部分意味着投资者以无风险收益率借入部分资金，然后将其全部财富和借入的资金一起投资到风险资产中；此时，y＞1。由于我们没有考虑卖空风险资产的问题，所以，不存在y＜0的情况。

资本配置线的斜率等于资产组合每增加一单位标准差所增加的期望收益，换句话说，就是每单位额外风险的额外收益。因此，我们有时也将这一斜率称为报酬与波动性比率。

在资本配置线的推导中，我们假设投资者能以无风险收益率借入资金。然而，在实际的资本市场中，投资者在银行的存贷款利率是不同的。一般来讲，存款利率要低于贷款利率。因此，如果把存款利率视为无风险收益率，投资者的贷款利率就要高于无风险资产收益率。在这种情况下，资本配置线就变为一条折线。我们可以假设无风险资产收益率为rf，投资者向银行贷款的利率为r′f，且r′f＞rf。在这种情况下，若投资者需要借入资金投资到风险资产时，资本配置线的斜率就应该等于，该斜率值小于。此时，在期望收益－标准差平面上，资本配置线就变成了图5-13的形状。其中，资本配置线在风险资产右侧部分的斜率要低于其在左侧的部分。

图5-13　存贷款利率不同时的资本配置线

再次，一个无风险资产与两个风险资产的组合。前文分别考察了一个无风险资产和一个风险资产构成的资产组合以及两个风险资产构成的资产组合。在此基础上，我们将这两种情况进行融合，进而引入第三种资产组合，即一个无风险资产和两个风险资产构成的资产组合。下面，我们考察这种情况下投资组合可行集的状态。

我们首先假设两个风险资产在风险组合的投资权重分别为wD 和wE，且wD +wE＝1。这样，无风险资产的投资权重就是1－y（wD+wE）。由于我们可以将两个风险资产视为一个风险资产组合，因此，三个资产构成的投资组合可行集就等价于一个风险资产组合与一个无风险资产构成的可行集。但与前文的情况略有不同，随着wD 和wE 的变化，风险资产组合的期望收益和方差并不是确定的值，而是不断变化的。在期望收益—方差平面中，风险资产组合的位置也不再是图5-14中确定的一点，而是图5-14中的某一点。给定wD 和wE 的某一数值，在期望收益 方差平面中就对应着一个风险资产组合。该组合与无风险资产的连线形成了一条资本配置线（如图5-14），这条资本配置线就是在市场中存在三个资产时的投资组合可行集。随着我们改变投资比例wD和wE，风险资产组合的位置就会发生变化，资本配置线也相应地产生变化。

图5-14　无风险资产对组合形状的影响

从图5-14可以看出，两个风险资产组成的效率边界上的任何一点与无风险资产的连线都能构成一条资本配置线。然而，比较图5-14中的两条资本配置线CAL（0）和CAL（A）可以发现，对于任一标准差，资本配置线CAL（0）上资产组合的期望收益率都比CAL（A）上的高。换句话说，相对于CAL（0）上的资产组合，CAL（A）上的资产组合是无效率的。事实上，我们可以很容易发现，在所有的资本配置线中，斜率最高的资本配置线在相同标准差水平下拥有最大的期望收益率。从几何角度讲，这条资本配置线就是通过无风险资产并与风险资产组合的效率边界相切的一条线，我们称这条资本配置线为最优资本配置线。相应地，切点组合P被称为最优风险资产组合。因此，当市场中有一个无风险资产和两个风险资产的时候，有效的投资组合可行集就是通过无风险资产和风险资产组合，且斜率达到最大的资本配置线。

问题可以归结为寻找权重wD、wE，以使资本配置线的斜率最大，即：

其中，

约束条件是：∑wi＝1

求Sp 的最大化问题，可以对Sp 求关于wD 的导数，并令其为零：

（5）最优资产组合选择。

第一，两个风险资产。当市场中存在两个风险资产时，可供投资者选择的有效资产组合就是双曲线上半部分的效率边界（这里主要考虑－1＜ρ＜1的情况）。由于效率边界的上半部分是凸向y轴，而投资者无差异曲线是凸向x轴，因此，随着无差异曲线向左上方移动，两者就存在相切的可能，而切点正是我们要找的最优资产组合。同样，不同投资者的无差异曲线的形状不同，它们与效率边界的切点位置也不相同。对于风险规避程度较高的投资者而言，他们会选择效率边界左侧、风险较低的资产组合（如E1）；风险规避程度较低的投资者则会选择效率边界右侧、风险较高的资产组合（如E2），见图5-15。

图5-15　两个风险资产时最优资产组合的选择

第二，一个无风险资产和一个风险资产。此时，投资组合可行集就是通过无风险资产和风险资产的资本配置线（如图5-16）。给定投资者1的效用函数，U1（1）—U3（1）对应着投资者三个效用水平下的无差异曲线。比较这三条无差异曲线可以发现，在给定风险水平的情况下，U3（1）上资产组合的期望收益最大，U1（1）上资产组合的期望收益最小。这意味着U3（1）代表的效用水平最大，U1（1）代表的效用水平最小。在三条无差异曲线中，U1（1）与资本配置线相交，U2（1）与资本配置线相切，U3（1）与资本配置线没有任何交集。这意味着可行集中存在资产组合能够使投资者达到U1（1）和U2（1）的效用水平，而可行集中所有的资产组合都无法使投资者的效用达到U（1）3。事实上，对于投资者1来说，在所有与资本配置线存在交集的无差异曲线中，由于U（1）2 与资本配置线相切，因而U（1）2 拥有最高的效用水平。因此，U（1）2 和资本配置线的切点E（1）就是投资者1的最优投资组合。

图5-16　一个无风险资产和一个风险资产时最优资产组合的选择

不同投资者的风险规避程度是不同的，因而他们对风险和收益的权衡也存在差异。对于风险规避程度较高的投资者而言，他们会将财富更多地投入到无风险资产中，从而获得较低风险水平的资产组合。在图5-16中，投资者2的风险规避程度较高，在他选择的最优资产组合E（2）中，无风险资产所占的比例较高。与投资者1相比，他的最优资产组合的风险水平相对较低。

第三，一个无风险资产和两个风险资产。当市场中存在一个无风险资产和两个风险资产时，投资者会在两个风险资产构成的风险资产组合和无风险资产之间进行财富分配，也就是在风险资产组合和无风险资产构成的资本配置线上选择待投资的资产组合。由于在所有通过无风险资产的资本配置线中，与效率边界相切的资本配置线在相同的风险水平下拥有最大的期望收益，因此，对于所有的投资者来说，他们都会在这条资本配置线上进行最优资产组合的选择。最优资产组合就是无差异曲线与资本配置线的切点（如图5-17）。通过给定风险厌恶系数A，就可以计算出整个组合的最优风险资产比重。

图5-17　一个无风险资产和一个风险资产组合时最优资产的选择

利用微积分知识，最大化即求一阶导数为零来求解，即

（6）分离定理。

从图5-17可以看出，当市场中存在无风险资产和多个风险资产时，只要投资者是风险规避者，不管他具体的效用函数如何，他所选择的风险资产组合都是一样的，也就是过无风险资产与效率边界相切的P点。投资者的效用函数或者说风险规避程度决定了他持有的无风险资产和风险资产组合P的比例，这一性质就是所谓的分离定理（Separation Theorem）。

根据这一定理，投资组合的选择过程可以分为两个阶段，投资者先要根据各风险资产的期望收益、方差以及协方差确定最优的风险资产组合，这完全是一项技术性的工作。在这一阶段，投资者只需要考虑各个资产的风险收益特征，而不用涉及个人的风险偏好。事实上，所有的投资者在这一阶段选择的最优风险资产组合都是相同的。在确定了最优风险资产组合的基础上，投资者将根据自身的风险规避程度确定投资在最优风险资产组合和无风险资产上的比例，从而得到最优资产组合。

分离定理在资产组合管理过程中具有重要的意义。如果市场由一个无风险资产和众多风险资产构成，不管客户的风险规避程度有何差异，资产组合管理公司给所有客户提供的风险资产组合都是相同的。不同风险规避程度的客户可以通过选择分配在无风险资产上的财富比例来调节最优资产组合的风险水平，这就大大提高了资产组合的管理效率，并降低了管理的单位成本。

2.资本市场均衡模型

（1）资本资产定价模型。资本资产定价模型（The Capital Asset Pricing Model，CAPM）是识别期望收益和风险值（β系数）之间关系的模型。最初由美国的William Sharpe于1964年建立，后由美国的J.Linter和J.Mossin完善。运用这个模型既可以帮助我们在已知风险的前提下了解其投资的期望收益，又可以帮助我们确定那些没有市场交易的资产价值。

该理论的假设前提是：①所有投资者都处于同一单期投资期，即认为投资者行为短时，不考虑投资决策时之后的影响；②市场上存在一种收益大于零的无风险资产，所有投资者均可按无风险资产的收益率进行任何数量的资金借贷，从事证券买卖，并且每个资产都无限可分；③投资者使用预期收益率和标准差这两个指标来选择投资组合，遵循马柯维茨组合理论；④市场完全竞争，且没有税负和交易成本；⑤投资者永不满足和厌恶风险，在其他条件相同的情况下，选择高收益和低风险；⑥投资者一致性预期假设，即对证券的评价和经济形势的看法一致，因此，投资者收益的概率分布预期一致。

根据马柯维茨组合理论，证券组合的有效边界如图5-18所示，在Rp－r坐标系中，根据投资者的共同偏好规则，即投资者永不满足和厌恶风险，则B—C为马克维兹有效边界，并且B为最小方差组合。在选择最优证券组合时，无差异曲线与有效边界的交点即为最佳组合。M 点代表市场证券组合，包含全部风险资产的最优组合。在M 点左边的投资组合代表了风险资产和无风险投资的组合；M 点右边的投资组合代表了风险资产是用以无风险利率借入的资金购买的，为杠杆组合。A点为无风险资产，连接的直线即为资本市场线。资本市场线的数学表达式为

图5-18　资本市场线

它表示：在市场均衡状态下，任何一种证券期望收益率由两部分组成，一部分为无风险利率，表示时间价值；另一部分代表投资者承担风险而得到的补偿，为风险报酬为单位风险回报率。令＝β，则如图5-19所示，证券市场线SML的截距为Rf，斜率为风险报酬Rm－Rf，证券市场组合M的β值为1，β＞1，说明投资者可以获得高于市场平均水平的期望收益率；β＜1，说明投资者可以获得低于市场平均水平的期望收益率。

图5-19　证券市场线

根据CAPM 模型，可以得出证券的定价公式，推导如下：

（2）套利定价模型。套利定价理论（Arbitrage Pricing Theory）的核心是一价原则，最早由斯蒂芬·罗斯于1976年提出。与CAPM 模型的结论相同，它也表明证券的风险与收益存在线性关系，证券的风险越大，收益就越高。但罗斯认为，期望收益与风险之间存在正比例关系，是因为套利行为使所有套利机会都消失，使投资者面临的只有高收益、高风险相匹配的投资局面。套利是在两个不同市场上以两种不同的价格同时买入和卖出，套利者就能在没有风险的情况下获利。通常，无风险套利的机会存续时间很短。

APT的假设前提包括：存在一个完全竞争的资本市场；投资者是风险厌恶者，并追求效用最大化；投资者认为任何一种证券的收益率都是一个线性函数：

其中，a指当时指数为i时的证券收益率的期望水平；b表示i证券的收益对因素k的敏感度；Fk 是第k个影响因素的指数，ei 为随机项；组合中的证券品种n必须远远超过模型中的影响因素种类等。

套利组合必须符合三个条件。一是不需要追加投资；二是组合的风险为0；三是当市场达到均衡时，组合的收益为0。所以，在充分分散化的资产组合中，非系统风险是相互抵消的。

资产组合的期望收益取决于它的系统风险水平和该资产组合对系统风险的敏感程度，即资产组合的β值。如果我们只考虑单个因素，则根据图5-20所示，AB为套利定价线：

图5-20　单因素模型

这与模型的结论是一致的。如果我们考虑多个因素，即K＞1，则：

APT模型的结论基本上与CAPM 的结论相一致，其联系与区别见表5-10。

表5-10　APT模型和CAPM 模型的比较表