非线性趋势的分析和预测

前面我们讲过趋势分为线性和非线性两种。既然线性趋势我们用线性方程去拟合。那么可想而知非线性趋势我们会采用曲线方程去拟合。这里我们主要介绍二次曲线和指数曲线两种非线性趋势。虽然曲线方程和线性方程形式不同，但值得一提的是曲线方程中未知数的求取方法我们仍是将非线性转换为线性然后求取系数的方法。

1）二次曲线（second degree curve）

当观察时间序列的散点图发现现象的发展趋势近似为抛物线形态时，就可采用二次曲线对其趋势进行拟合了。其一般形式为

二次曲线方程中有3个未知数a，b，c，其求取方法仍可采取最小二乘法原理。做回归时，只要把t和t2都当成自变量，做一个二元线性回归即可。

根据最小二乘法求得a，b，c标准方程

【例9.12】　根据表9.2中的城镇居民人均可支配收入数据，可先通过观察图9.1初步推测判断其变化规律为非线性趋势中的二次曲线。根据最小二乘法，确定二次曲线趋势方程，计算出各期的预测值和预测误差，预测2010年的城镇居民可支配收入，并将原序列和各期的预测值序列绘制成图形进行比较。

【解】　根据上面的分析，只需将二次曲线进行一个线性转换，然后做一个二元线性回归即可得到二次曲线方程。根据最小二乘法求得的二次曲线方程为

将t＝1，2，…，10代入趋势方程得到各期的预测值，见表9.10。预测的估计标准误差为

将t＝11代入趋势方程即可得到2010年城镇居民人均可支配收入的预测值，即

将各年的预测值与原序列绘制成图9.6，可看出城镇居民人均可支配收入的变化趋势。

表9.10　二次曲线趋势预测结果

图9.6　城镇居民人均可支配收入预测

从图9.6中可以看出，二次曲线拟合的效果是非常好的，预测结果也应该非常理想。

2）指数曲线（exponential curve）

当时间序列呈现以几何级数递增或递减的现象时，我们就需要用指数模型来拟合其规律了。一般而言，当时间序列的观测值按一定的增长率增长或衰减时，就可判定其极大可能是呈指数变化趋势的，如图9.1所示的财政收入序列，它的变化就呈现出明显的指数规律。值得一提的是，一般的自然增长和大多数经济时间序列都会呈现指数变化趋势。

指数曲线的一般形式为

式中，a，b为未知常数。

将t期预测值和前一期比较，不难发现逐期增长率为b；若b＞1，增长率随着时间t的增加而增加；若b＜1，增长率随着时间t的增加而降低；若a＞0，b＜1，趋势值逐渐降低到以0为极限。

求出lga和lgb后，再取其反对数，即得常数a和b。

【例9.13】　根据表9.2中的财政收入数据，我们先通过观察图9.1初步推测判断其变化规律为非线性趋势中的指数曲线。根据最小二乘法确定指数曲线趋势方程，计算出各期的预测值和预测误差，预测2010年的财政收入，并将原序列和各期的预测值序列绘制成图形进行比较。

【解】　根据上面的分析，只需将指数曲线两边取对数进行一个线性转换，然后根据最小二乘法求得的指数曲线方程为

将t＝1，2，…，10代入趋势方程得到各期的预测值，见表9.11。预测的估计标准误差为(www.xing528.com)

将t＝11代入趋势方程即可得到2010年财政收入的预测值，即

将各年的预测值与原序列绘制成图9.7，可以看出财政收入的变化趋势。

表9.11　指数曲线趋势预测结果

从图9.7中我们可以看出，指数曲线拟合的效果是非常好的，预测结果也应该非常理想。

图9.7　财政收入指数曲线预测

用指数曲线预测时，一般比直线趋势预测应用更加广泛。前面我们提过指数曲线模型中的b可反映出逐期的增长速度，进而可比较不同时间序列的各自增长速度。如在例9.13中，a＝94.89，表示t＝0时财政收入的预测值，而b＝1.26509，则可反映出逐期发展速度为1.26506，则增长速度为1.26509－1＝0.26509＝26.509％，即财政收入的年平均增长率为26.509％。