移动平均法的优化策略

◎定义9.15：移动平均法（moving average）是指通过对时间序列逐期递移求得一系列平均数作为趋势值或预测值的预测方法。

移动平均法是指根据时间序列资料，逐项递推移动，依次计算包含一定间隔的扩大时距平均数，形成一个新的时间数列，据以反映长期趋势并进行外推预测的方法。根据对各期观察值所赋予的权重不同，可将移动平均法分为两种：简单移动平均法和加权移动平均法。

1）简单移动平均法（simple moving average）

简单移动平均法就是将最近的k期数据加以平均作为下一期的预测值。

设移动间隔为k（1＜k＜t），则t期的移动平均值为

则t＋1期的简单移动平均预测值为

简单移动平均法采用距离预测值最近k期的数据作为预测依据，对近期数据的考虑多于远期数据，在一定程度上对简单平均法进行改进，但仍是采用平均值作为最终预测值，故同样主要适合于对较为平稳的时间序列进行预测。

此方法计算简便，虽然比简单平均法有所改进，但仍有弊端：如对最近k期每个观察值都给予相同的权数；只使用最近期的数据，在每次计算移动平均值时，移动的间隔都为k。所以在其应用时，确定合理的移动间隔长k是关键。显而易见，对于同一个时间序列，采用不同的移动步长预测的准确性是不同的；最终如何选择移动步长，可通过采用多个步长试验的办法，选择一个使均方误差达到最小的移动步长。

【例9.8】　表9.5为某啤酒厂2000—2014年的啤酒产量，现要求分别采用移动步长为3期和4期的简单移动平均法对啤酒产量时间序列进行平滑。

表9.5　某啤酒厂历年啤酒产量资料/t

续表

在上述例题中，大家不难发现在移动平均过程中，会造成数据和信息的丢失：移动平均后，头尾的数据项数会减少。所以我们有一个操作即利用移动平均法进行长期趋势分析（平滑）时，每一移动平均数位于计算观测值的中期位置。所以当移动步长采用奇数项（如3，5，7，9等）计算移动平均数时，一次移动平均即可取得观测值中间项的长期趋势值（平滑值）。当步长采用偶数项（如2，4，6，8等）计算移动平均数时，观察值的中点，位于偶数项的中间位置，不和任一具体时期相对应，为了求得某一具体时期的长期趋势值，还应以步长为2再次计算二次移动平均数，以移正长期趋势值。

另外，移动步长的选择还要结合时间序列数据本身的特点。如果现象变化有一定周期，应以周期长度为平均项数；如季节资料，可取4项移动平均；如月度资料，则可取12项移动平均，以消除季节变动，揭示现象发展的长期趋势；如果原始数列中无明显周期变动，用奇数项移动平均较为方便，其移动平均值都可对正所平均的中点时期，只需移动一次即可得到趋势值。关于季节变化数据的分析，我们在最后一节会介绍。

【例9.9】　某超市某时期的月销售额见表9.6，分别取移动间隔k＝3或k＝5，用Excel计算各时期销售额的平滑值（预测值），计算出预测误差，并将原序列和预测后的序列绘制成图形进行比较。

表9.6　某超市每月的销售额

图9.2　移动平均的步骤

用Excel进行简单移动平均的步骤和操作：

第1步：选择“工具”下拉菜单，选择“数据分析”选项。

第2步：在分析工具中选择“移动平均”，然后单击“确定”按钮。

第3步：在出现的对话框中，在“输入区域”设置框内输入数据单元格区域B2：B19，在“间隔”设置框中输入“3”。在“输出区域”中输入C2：C19，在最后一行的复选框中选中“标准误差”，如图9.2所示。(www.xing528.com)

第4步：单击“确定”按钮，就会出现移动间隔k＝3的预测值，见表9.7。

然后重复上面的操作，只需要将“间隔”设置框中输入“5”，在“输出区域”输入F2：F19，再单击“确定”按钮，就会出现表9.7的结果，图形如图9.3所示。

图9.3　销售额移动平滑趋势

表9.7　移动平均的输出结果

以3期移动平均为例，表9.7中的118.53是前3月的平滑值，也可作为第4个月的预测值。同样的，122.77是第2，3，4月份的平滑值，它也可作为第5月份的预测值。

从平滑的结果来看，3期移动的均方误差为665.32（10645.14/16），5期移动的均方误差为1651.61（23122.53/14）。因此，在本题的时间序列中，采用3期移动平均进行平滑或预测比较好。

2）加权移动平均法（Weighted moving average）

简单移动平均法中，对最近k期每个观察值都给予相同的权数，如果对近期的观察值和远期的观察值赋予不同的权数后再进行预测，就是加权移动平均法。

一般而言，当时间序列的波动较大时，最近期的观察值应赋予最大的权数，较远的时期的观察值赋予的权数依次递减。而当时间序列的波动不是很大时，对各期的观察值应赋予近似相等的权数。不管如何确定权数，有一个准则必须遵守就是所选择的各期的权数之和必须等于1。

同简单移动平均法中移动步长的选择一样，加权移动平均需要对移动间隔（步长）和权数进行选择，同样可用均方误差来测度预测精度，即选择一个均方误差最小的移动间隔和权数的组合。

【思考与分析】

大家可根据表9.2中的居民消费价格指数自己采用一定的移动步长进行居民消费价格指数的预测，不妨自己动手试一试。