显著性检验的优化方法

回归分析的主要目的是根据所建立的估计方程用自变量x来估计或预测因变量y。由于估计方程是由随机样本数据得出的，它是否真实地反映了变量x和y之间的关系，只有通过检验后才能证实，才能由自变量x来估计和预测因变量y。

利用样本数据拟合回归方程时，假定变量x和y之间存在线性关系，即y＝β0＋β1x＋ε，并假定误差项ε是一个服从正态分布的随机变量，且对不同的x具有相同的方差。但这些假设是否成立，必须通过检验后才能证实。

回归分析中的显著性检验主要包括两个方面的内容：一是线性关系的检验；二是回归系数的检验。

1）线性关系的检验

线性关系的检验是检验自变量x和因变量y察察为明的线性关系是否显著。或者说，它们之间是否可用一个线性模型y＝β0＋β1x＋ε表示。为检验两个变量之间的线性关系是否显著，则需要构造用于检验的一个统计量。该统计量的构造是以回归平方和（SSR）以及残差平方和（SSE）为基础的。将SSR除以其相应的自由度（自变量的个数k，一元线性回归中自由度为1）后的结果称为均方回归，记为MSR；将SSE除以相应的自由度（n－k－1，一元线性回归中自由度为n－2）后的结果称为均方残差，记为MSE，如果原假设成立（H0：β1＝0两个变量之间的线性关系不显著），则比值MSR/MSER的抽样分布服从分子自由度为1，分母自由度为n－2的F分布，即

故当原假设H0：β1＝0时成立时，MSR/MSE的值应接近1，但如果原假设H0：β1＝0不成立，MSR/MSE的值将变得无穷大。因此，较大的MSR/MSE值将导致拒绝原假设H0，此时，就可以断定变量x和y之间存在着显著的线性关系。

注意

当不拒绝原假设时，只能表明样本数据提供的信息，只能证实两个变量之间不存在线性关系，而不是表明两个变量没有任何关系。

线性关系检验的具体步骤如下：

第1步：提出假设H0∶β1＝0两个变量之间的线性关系不显著。

第2步：计算检验统计量F为

第3步：作出决策。确定显著性水平α，并根据分子自由度df1＝1和分母自由度df1＝n－2查F分布表，得到相应的临界值Fα。若F＞Fα，则拒绝H0，表明两变量之间线性关系是显著的；若F＜Fα，则不拒绝H0，没有证据表明两变量之间线性关系显著。

【例8.7】　根据例8.1数据和表4Excel输出结果，检验不良贷款和贷款余额之间的线性关系的显著性（α＝0.05）。

解　第1步：提出假设H0∶β1＝0两个变量之间的线性关系不显著。

第2步：计算检验统计量为

第3步：作出决策。根据显著性水平α＝0.05，分子自由度df1＝1和分母自由度df1＝n－2查F分布表，得到临界值Fα＝4.28。由于F＞Fα，则拒绝H0，表明不良贷款和贷款余额之间线性关系是显著的。

表8.5为Excel输出的方差分析表。

表8.5　Excel输出的方差分析表

在表8.5中，除了输出检验统计量F值外，还给出了用于检验的显著性F，即Significance F，它相当于用于检验的p值。除了可用统计量进行决策外，利用Significance F，直接与给定的显著性水平α的值进行对比，如果Significance F的值小于α值，则拒绝原假设H0，表明因变量y与自变量x之间有显著的线性关系；如果Significance F的值大于α值，则不拒绝原假设H0，表明因变量y与自变量x之间没有显著的线性关系。

在表8.5中输出的结果，Significance F＝1.18349E－0.7＜α＝0.05，这说明不良贷款与贷款余额之间存在显著的线性关系。

2）回归系数的检验

回归系数的显著性检验是检验自变量对因变量的影响是否显著。在一元线性回归模型y＝β0＋β1x＋ε中，如果回归系数β1＝0，回归线是一条水平线，表明因变量y的取值不依赖于自变量x，即两个变量之间没有线性关系。如果回归系数β1≠0，也不能肯定就得出两个变量之间存在线性关系的结论，要看这种关系是否具有统计意义上的显著性。为此，需要研究回归系数β1的抽样分布。

其中，σ是误差项ε的标准差。

这样，就可构造出用于检验回归系数β1的统计量t为

该统计量服从自由度为n－2的t分布。如果原假设成立，则β1＝0，检验的统计量为

回归系数显著性检验的步骤如下：

第1步：提出假设为(www.xing528.com)

H0∶β1＝0；H1∶β1≠0

第3步：作出决策。确定显著性水平α，并根据自由度df1＝n－2查t分布表，得到相应的的，两者之间尚不存在显著的线性关系。

【例8.8】　根据例8.1及表8.4提供的数据，对贷款余额是否是影响不良贷款的一个显著性因素进行检验。

解　第1步：提出假设为

H0：β1＝0；H1：β1≠0

第2步：计算检验统计量为

第3步：作出决策。根据给定显著性水平α，自由度df1＝n－2＝25－2＝23，查t分布表，得临界值tα/2＝t0.025＝2.0687。由于t＝7.533797＞t0.025＝2.0687，所以拒绝H0，表明贷款余额是影响不良贷款的一个显著性因素。

在实际应用中，可直接用Excel输出的参数估计表进行检验。表8.4中除了给出检验统计量外，还给出了用于检验的p值（p⁃value）。检验时可直接将p⁃value与给定的α进行比较，若p⁃value＜α，则拒绝原假设H0，若p⁃value＞α，则不拒绝原假设H0。在本例中，p⁃value＝0.000000＜α＝0.05，所以拒绝原假设，与前面的结论是一致的。

在进行显著性检验时，有以下两点需要注意：

①对回归系数进行检验时，如果拒绝了，H0∶β1＝0仅仅表明在样本观测值范围之内，x和y之间存在线性关系，而且一个线性关系只是解释了y的变差中的显著部分。

②在一元线性回归中，自变量只有一个，因此F检验和t检验是等价的。但在多元回归分析中，这两种检验的意义是不同的，F检验是用来检验总体回归关系的显著性，而t检验则是检验各个回归系数的显著性。

为使读者能够完全明了Excel输出结果，最后将给出前面未涉及的一些结果的计算公式，见表8.6。对这些结果的解释可进一步参考其他有关书籍。

表8.6　Excel输出的部分结果的计算公式