一元线性回归模型,回归模型

建立两个线性相关变量的数学表达式，并由一个自变量估计或预测另一个特定变量（因变量）的方法，称为一元线性回归分析。本章主要讨论的就是两个相关变量之间的线性回归模型（数学表达式），模型的检验，利用回归模型由自变量估计或预测因变量的方法。

1）回归模型

进行回归分析时，首先需要确定自变量x和因变量y。

◎定义8.5：在回归分析中，被预测或被解释的变量称为因变量（dependent variable），用y表示。

◎定义8.6：在回归分析中，用来预测或用来解释因变量的一个或多个变量称为自变量（independent variable），用x表示。

例如，在例8.1中，当分析贷款余额对不良贷款的影响时，目的是要预测一定贷款余额条件下的不良贷款是多少。因此，不良贷款是被解释或被预测的变量，称为因变量y；而用来预测或用来解释不良贷款的贷款余额则是自变量x。

当回归中只涉及一个自变量时称为一元回归，若因变量与自变量之间为线性关系时，称为一元线性回归。

对于具有线性关系的两个变量，可用一个线性方程来表示它们之间的关系。

◎定义8.7：描述因变量y如何依赖于自变量x和误差项ε的方程，称为回归模式（regression model）。

只涉及一个自变量的一元线性回归模型为

在一元线性回归模型（8.4）中，y是x的线性函数（β0＋β1x）加上误差项ε。β0＋β1x反映了由于x的变化而引起的y的线性变化；ε是被称为误差项的随机变量，反映了除x和y之间的线性关系之外的随机因素对y的影响，是不能由x和y之间的线性关系所解释的变异性。式中，β0和β1称为模型的参数。(www.xing528.com)

2）回归方程

根据回归模型中的假定，ε的期望值等于0，因此，y的期望值E（y）＝β0＋β1x，也就是说，y的期望值是x的线性函数。

◎定义8.8：描述因变量y的期望值如何依赖于自变量x的方程，称为回归方程（regression equation）。

一元线性回归方程的形式为

一元线性回归方程的图示是一条直线，故也称直线回归方程。其中，β0是回归直线在y轴上的截距，是当x＝0时y的期望值；β1是直线的斜率，称为回归系数，表示当x每变动一个单位时，y的平均变动值。

3）估计的回归方程

◎定义8.9：根据样本数据得到的回归方程的估计，称为估计的回归方程（estimated regression equation）。

对于一元线性回归，估计的回归方程形式为