变量之间的关系及优化

在对客观事物进行研究中，人们经常要对变量之间的关系进行分析，以期对事物进一步认识。例如，要控制产品的生产成本，必须对影响该产品成本的各种因素进行分析；研究农作物产量与施肥量的关系，以提高农作物产量；通过商业广告费支出与销售量之间的关系，分析并预测广告费支出对销售量的影响；在社会学中，研究离婚率与离婚年龄之间的关系；在医学中，研究吸烟的烟龄与癌症病人数的关系，等等。统计分析的目的在于如何根据统计数据，确定变量之间的关系形态及其关联程度，这种关系不外乎两种形态，即函数关系和相关关系。

1）函数关系

函数关系是人们比较熟悉的变量间的关系。在函数关系中，设有两个变量x和y，变量y随变量x变化而变化，并完全依赖于x。当变量x取某一数值时，y依确定的关系取相应的值，则称y是x的函数，记为y＝f（x）。其中，x是自变量，y是因变量。可用数学表达式描述这种关系。

◎定义8.1：客观现象之间存在的确定性的数量关系，并可用数学表达式描述这种关系，即称为函数关系。

例如，长方形面积S与长方形边长a和b之间相互依存的确定性的函数关系，用数学公式表示为S＝ab。在销售价格（p）既定的情况下，商品销售额（y）与销售量（x）之间也存在确定的函数关系为

销售额＝销售量×销售价格

即y＝px，等等，表明各变量之间存在一种确定的函数关系。

2）相关关系

函数关系是一一对应的确定关系，但在实际问题中，变量之间的关系往往严格的依存关系。例如，考察居民家庭收入与支出的关系，这两个变量之间就不存在这种一一对应的完全确定的关系。也就是说，收入水平相同的家庭，他们的支出往往不相同；反之，支出相同的家庭，他们的收入往往也是不相同的。可见家庭的支出并非完全取决于家庭收入的多少，因为家庭支出水平尽管与家庭收入有密切的关系，但它并非是影响支出的唯一因素，还有银行利息、消费品价格变化等其他因素的影响。正是由于影响一个变量的因素很多，才造成了变量之间关系的不确定性。(www.xing528.com)

◎定义8.2：变量之间存在的不确定的数量关系，称为相关关系（correlation）。

例如，从遗传学角度看，子女的身高（y）与其父母的身高（x）有很大关系。一般来说，父母身高较高时，其子女的身高通常也比较高，父母身高较矮时，其子女的身高通常也比较矮。但是实际情况中，子女的身高并不是完全由父母的身高一个因素确定的，还有其他许多因素的影响，因此两者之间属于相关关系。

又如，考察一个人的收入（y）水平与他受教育年限（x）这两个变量，它们之间也不存在确定的函数关系。也就是说，受教育年限相同的人，他们的收入往往不同。同样，收入相同的人，他们受教育年限可能不同。即受教育年限尽管与收入多少有关系，但它并不是影响收入的唯一因素，还有其他因素（如职业、工作年限等）的影响。因此，收入水平与受教育年限之间是一种相关关系。

从上面的几个例子，可看出相关关系的特点：

提示

1.一个变量的取值不能由另一个变量唯一确定，当x取某个值时，变量y的取值可能有几个。

2.变量之间虽没函数关系，但也不是无任何规律可循。如父母身材较高时，其子女的身材一般也较高；收入水平较高的家庭其消费支出一般也较高。