总体均值的检验方法及优化建议

在对总体均值进行检验时，按照检验的步骤，关键是根据样本的抽样分布选择合适的检验统计量，而检验统计量取决于抽取的样本是大样本（n≥30）还是小样本（n＜30），此外，还需要区分总体是否服从正态分布、总体方差是否已知等几种情况。下面分别讨论。

1）大样本的检验方法

根据第5章抽样分布的知识，在大样本情况下，样本均值抽样分布近似服从正态分布，

当总体方差未知时，可用样本方差近似代替总体方差。此时，总体均值检验的统计量为

【例6.4】　一种零件的直径为15cm，标准差是0.963cm，为了对生产的质量进行检查，质检人员在某批零件中随机抽查100个零件进行检验，测得零件的平均直径为15.28cm，取显著性水平α＝0.05，这批零件是否符合生产要求？

解　根据题意，生产出的零件直径大于或小于15cm都不符合要求，因此属于双侧检验问题，提出的原假设和备择假设为

H0：μ＝15；H1：μ≠15

当总体方差已知时，根据式（6.2）计算检验统计量的具体数值为

检验统计量的含义是：样本均值与总体均值相比，相差2.9076个抽样标准差。

根据给定的显著性水平α＝0.05，查阅标准正态分布表得zα/2＝z0.025＝1.96，由于z＝2.9076＞1.96，因此，拒绝原假设。检验结果表明，样本数据提供的证据不支持原假设，故拒绝原假设，表明这批零件不符合生产要求。上面的决策过程如图6.4所示。

图6.4　例6.4中的拒绝域

此题中的假设检验也可用p值来进行检验。p值可用Excel中的统计函数功能来计算。其具体操作的步骤如下：

用Excel计算正态分布p值的操作步骤：

第1步：进入Excel表格界面，选择“插入”菜单，直接单击“fx”（插入函数）命令。

第2步：在出现的“插入函数”对话框中，在函数类别中单击“统计”，并在函数名菜单下选择“NORMSDIST”，然后单击“确定”按钮。此时，出现的界面如图6.5所示。

第3步：将z的绝对值2.9076录入，得到的函数值为0.998178931，如图6.6所示。该值表示的是在标准正态分布条件下，z值左边的面积为0.998178931。

第4步：z＝209076右边和z＝－2.9076左边的面积是一样的，所以双侧检验的p值为

p＝2×（1－0.998178931）＝0.003642

由于计算出的p值小于0.05，因此拒绝原假设。

图6.5　计算p值的操作过程

图6.6　统计量的函数参数

图6.7给出了p值的示意图。

图6.7　标准正态分布Z值示意图

由于p值＝0.003642远远小于显著性水平α＝0.05，因此拒绝原假设H0，得到的结论与前面相同。

【例6.5】　一家食品加工厂每天的产量大约为23500袋，按规定每袋的质量为50g。为对产品质量进行检验，质检部门某天随机抽取了50袋食品，测得每袋质量见表6.3。

表6.3　50袋食品的质量/g

利用这个样本数据，检验每袋食品的质量是否低于标准质量？（α＝0.05）

解　本题关心的是样本中食品的质量是否低于标准质量50g，也就意味着μ是否小于50g，为单侧检验，且属于左单侧检验。提出的假设为

H0：μ≥50；H1：μ＜50

根据样本数据，计算得出

由于总体方差未知，根据式（6.3）具体计算检验统计量数值为

该检验统计量的数值表示：样本均值与假设的总体均值相差－0.16627个抽样标准差。

根据给出的显著性水平α＝0.05，可知，zα＝z0.05＝－1.645，由于检验统计量z＝－0.16627＞－1.645，所以不拒绝原假设。假设检验的结果表明，样本中每袋食品的质量不低于标准质量。

本题也可用p值进行检验，当使用统计量计算p值时，与上一例题给出的步骤一致。直接输入－0.16627，就可得出p值为0.433972（因为该命令给出的是分布的左侧的面积，恰好就是p值。若输入的是0.16627的话，给出的左侧面积是0.566028，这时p值＝1－0.566028＝0.433972）。

也可直接使用原始数据在Excel里进行p值检验，具体的操作步骤如下：

用Excel计算正态分布p值的操作步骤：

第1步：在Excel界面中，选择“插入”菜单，选择函数“fx”选项。

第2步：在函数分类中单击“统计”，并在函数名菜单下选择“ZTEST”，然后单击“确定”按钮。

第3步：在出现的对话框中，在“Array”设置框中，输入原始数据所在的区域，在“X”设置框中输入参数的某一假定值，在这里输入50，在“Sigma”设置框中输入已知的总体标准差（如果总体标准差未知，系统会自动使用样本标准差来代替），如图6.8所示。

图6.8　原始数据的p值计算过程

此时给出的分布左侧面积为0.566027564，用1减去该数值，就得到单侧检验的p值，即p值＝1－0.566027564＝0.433972。由于p值大于给定显著性水平0.05，所以不拒绝原假设，结论与统计量检验一致。

上面的决策过程如图6.9所示。

图6.9　例6.5中的拒绝域和p值

【例6.6】　某商场销售某商品，执行原销售方案平均每天销售量服从均值μ＝75，方差σ2＝14的正态分布。销售方案更新后，为了考察销售量是否提高，随机抽查了30天的销售量，求得平均销售量为77，假定方差不变，问在显著性水平0.05下，销售方案更新后平均每天销售量是否有显著提高？

解　该商场自然希望销售方案更新后销量能提高，因而也就想搜集证据支持“销售方案更新后销量有显著提高”的假设，也就是μ＞75。因此为单侧检验问题，且属于右侧检验。提出的假设为

H0：μ≤75；H1：μ＞75

根据式（6.2），计算检验统计量的具体数值为

根据给定的显著性水平α＝0.05，查标准正态分布表得zα＝z0.05＝1.645。由于z＝2.93＞z0.05＝1.645，所以拒绝原假设。检验结果表明，样本提供的信息证明销售方案更新后的销量有显著提高。

计算p值为0.0017＜α＝0.05，同样拒绝原假设。

上面的决策过程如图6.10所示。

图6.10　例6.6中的拒绝域和p值

通过以上三个例题介绍了一个总体均值的检验方法与步骤，这些方法与步骤为以后介绍的其他检验普遍适用，是学习假设检验思想与方法的基础，一定要很好地掌握。下面对大样本总体均值的检验问题作一总结，见表6.4。

表6.4　大样本情况下一个总体均值的检验方法(www.xing528.com)

2）小样本的检验方法

在小样本（n＜30）情形下，检验统计量的选择与总体是否服从正态分布、总体方差是否已知有着密切联系。本节的内容都是首先以总体服从正态分布为假定前提，然后再依据总体方差是否已知来选择合适的检验统计量。^[2]

当总体方差σ2已知时，即使是小样本，检验统计量式（6.2）仍然服从标准正态分布，要按式（6.2）给出的检验统计量对总体均值进行检验，检验的程序与大样本完全相同，不再赘述。这里郑重介绍小样本情形下，总体方差未知时总体均值的检验方法。

对于小样本，当总体方差σ2未知时，需要用样本方差s2代替总体σ2方差，此时式（6.2）给出的检验统计量不再服从标准正态分布，而是服从自由度为n－1的t分布。因此，需要采用t分布来检验总体均值，通常称为“t检验”。

检验统计量为

表6.5总结了小样本时总体均值的检验方法。

表6.5　小样本情况下一个总体均值的检验方法

【例6.7】　由于信息网络的飞速发展，很多人都直接从网上阅读或获得各种重要信息，一个研究机构据调查显示，目前人们每天阅读报纸杂志的平均时间仅为1.35h，为了验证这一说法是否正确，一家报刊机构为了调查人们每天花多少时间在阅读报刊上，抽取了由28个人组成的一个随机样本，他们每天看报纸或杂志的时间见表6.6。假设每天看报或杂志的时间服从正态分布，在0.05的显著性水平下，检验每天阅读报纸杂志的平均时间是否为1.39h？

表6.6　每天阅读报刊的时间/h

解　根据题意建立以下的原假设和备择假设：

H0：μ＝1.35；H1：μ≠1.35

由表6.6中的样本数据得

由于样本容量为28＜30，属于小样本，且总体方差未知，故样本分布为t分布采用式（6.4）计算统计量

根据自由度n－1＝28－1＝27，查t分布表得

tα/2（n－1）＝t0.025（27）＝2.052

由于t＝0.86863＜2.052，所以不拒绝原假设，样本提供的证据还不足以推翻原假设。

另外，t检验的p值同样可用Excel计算，具体操作步骤如下：

用Excel计算t分布p值的操作步骤：

第1步：进入Excel表格界面，直接单击“f（x）”（粘贴函数）命令。

第2步：在函数分类中单击“统计”，并在函数名菜单下选择字符“TDIST”，然后单击“确定”按钮。

第3步：在出现对话框的“X”栏中输入计算出的t的绝对值（如本题为0.86863），在“Deg⁃freedom”（自由度）栏中输入本例的自由度“27”；在“Tails”栏中输入“2”（表明是双侧检验，如果是单测检验，则在该栏输入“1”）。

第4步：“确定”输出p值＝0.392705437（本例计算结果），如图6.11所示。

图6.11　t分布的p值计算

在图6.13中可以看出，p值＝0.392705437＞0.05，所以不拒绝原假设，得出的结论与计算统计量得出的结论是相同的。

上面决策过程如图6.12所示。

图6.12　例6.7中的t分布的拒绝域和p值

上面讨论了一个总体均值的检验问题，在实际应用中，首先需要弄清各种方法的适用场合。例如，是大样本还是小样本？总体是否服从正态分布？总体方差是否已知？对于无法确定总体是否服从正态分布的小样本情况，通过增加样本容量达到大样本标准（n＞30），从而将小样本问题转换为大样本下的假设检验问题，当然这些不取决于实际条件是否允许。图6.13给出了一个总体均值检验的基本流程。

一个总体均值的假设检验是假设检验方法中最基本的问题，必须认真理解其中的基本思想与统计思维方式，既体现了总体参数检验中的基本理论，也是实际中应用最广泛的方法。

图6.13　一个总体均值假设检验的基本流程